Дано: ВО = DO; ∠ABC = 45°; ∠BCD = 55°; LAOC = 100°. Найти: ∠D. Доказать: дΑΒΟ = ACDO.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠BCA. ∠BCA = ∠BCD = 55°, значит, $$ ∠BAC = 180° - 45° - 55° = 80°. $$
2. ∠AOC и ∠BOD - вертикальные, следовательно, ∠BOD = ∠AOC = 100°.
3. Рассмотрим треугольник ABO. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, ∠ABO + ∠BAO + ∠AOB = 180°. ∠AOB = ∠BOD = 100°, ∠ABO = ∠ABC = 45°. Значит, $$ ∠BAO = 180° - ∠ABO - ∠AOB = 180° - 45° - 100° = 35°. $$
4. ∠BAC = ∠BAO + ∠OAC. ∠BAO = 35°, ∠BAC = 80°, следовательно, $$ ∠OAC = ∠BAC - ∠BAO = 80° - 35° = 45°. $$
5. Рассмотрим треугольник COD. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, ∠CDO + ∠DCO + ∠COD = 180°. ∠COD = ∠AOB = 100°, ∠DCO = ∠BCA = 55°. Значит, $$ ∠CDO = 180° - ∠COD - ∠DCO = 180° - 100° - 55° = 25°. $$
6. ∠D = ∠CDO = 25°.
7. Рассмотрим треугольники ABO и CDO:
   • BO = DO (по условию);
   • ∠ABO = ∠CDO = 45° (по условию);
   • ∠AOB = ∠COD (как вертикальные).
   Следовательно, треугольники ABO и CDO равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Ответ: ∠D = 25°, треугольники ABO и CDO равны.