Дано угол с вершиной С, равный 68°, вписана окружность с центром О, которая касается сторон угла в точках А и В. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, луч CO является биссектрисой угла C. Значит, \( \angle ACO = \angle BCO = \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2} \cdot 68° = 34° \).

Окружность касается сторон угла в точках A и B. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным. Значит, \( \angle CAO = 90° \) и \( \angle CBO = 90° \).

Рассмотрим четырёхугольник CAOB. Сумма углов в четырёхугольнике равна 360°.

\( \angle AOB + \angle CAO + \angle CBO + \angle ACB = 360° \).

\( \angle AOB + 90° + 90° + 68° = 360° \).

\( \angle AOB + 248° = 360° \).

\( \angle AOB = 360° - 248° = 112° \).

Ответ: 112