3

Дано:

\(\triangle KRL \sim \triangle K_1R_1L_1\)

\(KR : K_1R_1 = 2 : 1\)

Стороны \(\triangle KRL\): \(KR = 4\), \(RL = 3\), \(KL = 5\).

Найти:

Стороны \(\triangle K_1R_1L_1\): \(x, y, z\).

Решение:

Так как \(\triangle KRL \sim \triangle K_1R_1L_1\), то их соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон:

\(k = \frac{KR}{K_1R_1} = \frac{2}{1} = 2\)

Найдём длины сторон \(\triangle K_1R_1L_1\):

\(x = K_1R_1\)

\(y = R_1L_1\)

\(z = K_1L_1\)

Поскольку \(KR : K_1R_1 = 2 : 1\), то \(K_1R_1 = \frac{KR}{2} = \frac{4}{2} = 2\). Значит, \(x = 2\).

Аналогично для других сторон:

\(RL : R_1L_1 = 2 : 1 \Rightarrow R_1L_1 = \frac{RL}{2} = \frac{3}{2} = 1.5\). Значит, \(y = 1.5\).

\(KL : K_1L_1 = 2 : 1 \Rightarrow K_1L_1 = \frac{KL}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\). Значит, \(z = 2.5\).

Примечание: В условии задачи \(KR : K_1R_1 = 2 : 1\), а на рисунке \(KR = 4\) и \(K_1R_1 = x\). Если \(K_1R_1\) соответствует \(KR\) в отношении 2:1, то \(KR = 2 \cdot K_1R_1\). Это значит, что \(4 = 2x\), откуда \(x = 2\). Если же \(KR\) относится к \(K_1R_1\) как 2 к 1, то \(KR/K_1R_1 = 2/1\). Тогда \(4/x = 2/1\), что дает \(x = 2\).

Проверка:

\(\triangle KRL\) имеет стороны 3, 4, 5. Это прямоугольный треугольник, так как \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\).

\(\triangle K_1R_1L_1\) имеет стороны 1.5, 2, 2.5. Это также прямоугольный треугольник, так как \(1.5^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25 = 2.5^2\).

Отношение сторон \(\frac{KR}{K_1R_1} = \frac{4}{2} = 2\), \(\frac{RL}{R_1L_1} = \frac{3}{1.5} = 2\), \(\frac{KL}{K_1L_1} = \frac{5}{2.5} = 2\). Отношения равны, значит, треугольники подобны с коэффициентом 2.

Ответ: x = 2, y = 1.5, z = 2.5.