Дано: $$\triangle KML$$, $$\angle M$$ — прямой, $$\angle K = 30^{\circ}$$. Доказать: $$ML = \frac{1}{2}KL$$. Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$KML$$, в котором $$\angle M = 90^{\circ}$$ и $$\angle K = 30^{\circ}$$. Тогда по сумме углов треугольника $$\angle L = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$$. Выполним дополнительное построение: приложим к треугольнику $$KML$$ равный ему треугольник $$KMN$$. Получился треугольник $$KLN$$.

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный $$\triangle KML$$. Дано, что $$\angle M = 90^{\circ}$$ и $$\angle K = 30^{\circ}$$.
2. Сумма углов треугольника равна $$180^{\circ}$$. Следовательно, $$\angle L = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$$.
3. Построим точку $$N$$ так, чтобы $$\triangle KML = \triangle KMN$$ (по двум сторонам и углу между ними, например, $$KM = KM$$, $$ML = MN$$, $$\angle KML = \angle KMN = 90^{\circ}$$).
4. В этом случае $$\angle L = \angle MNK = 60^{\circ}$$ и $$\angle C = \angle CNK = 30^{\circ}$$.
5. В $$\triangle KLN$$: $$\angle K = \angle C + \angle MNK = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$$.
6. $$\angle L = 60^{\circ}$$.
7. $$\angle N = \angle MNK + \angle CNK = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$$.
8. Таким образом, $$\triangle KLN$$ — равносторонний.
9. Следовательно, $$KL = LN = NK$$.
10. По построению $$ML = MN$$. Поскольку $$\triangle KLN$$ равносторонний, $$LN = KL$$.
11. Так как $$LN = LM + MN$$, и $$LM = MN$$, то $$LN = 2 \times LM$$.
12. Из $$LN = KL$$ и $$LN = 2 \times LM$$ следует, что $$KL = 2 \times LM$$, или $$ML = \frac{1}{2} KL$$.

Что и требовалось доказать.