Дано: TR = 8 см; периметр треугольника PTR на 4 см больше периметра треугольника TPS. На рисунке RO = OT, точки R, O, T лежат на одной прямой, точки P, O, S — на одной прямой; отмеченные углы при R и T равны. Найдите длину отрезка OS (в см).

Рассмотрим треугольники ROP и TOS.

1. По отметкам на рисунке RO = OT.
2. Углы при O равны как вертикальные: ∠ROP = ∠TOS. Отмеченные углы при R и T также равны: ∠ORP = ∠OTS.
3. Следовательно, треугольники ROP и TOS равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому RP = TS и OP = OS.
4. Периметр PTR на 4 см больше периметра TPS. Вычтем периметры: (PR + RT + PT) − (TP + PS + ST) = 4. Так как PT = TP и PR = ST, получаем RT − PS = 4.
5. Подставим RT = 8 см: 8 − PS = 4, значит, PS = 4 см.
6. Точки P, O, S лежат на одной прямой, поэтому PS = PO + OS. А поскольку OP = OS, имеем PS = 2 · OS. Тогда OS = 4 : 2 = 2 см.

Ответ: 2 см.