Дано совместное распределение случайных величин X и Y. Независимы ли они?

Решение:

Чтобы определить, независимы ли случайные величины X и Y, нужно проверить условие независимости: \( P(X=x, Y=y) = P(X=x) · P(Y=y) \) для всех пар \( (x, y) \).

а) Таблица 32

Вычислим маргинальные вероятности:

Для X:

• \( P(X = -1) = 0,5 + 0,2 = 0,7 \)
• \( P(X = 3) = 0,3 + 0 = 0,3 \)

Для Y:

• \( P(Y = 0) = 0,5 + 0,3 = 0,8 \)
• \( P(Y = 2) = 0,2 + 0 = 0,2 \)

Проверим условие независимости для нескольких пар:

• \( P(X=-1, Y=0) = 0,5 \)
• \( P(X=-1) · P(Y=0) = 0,7 · 0,8 = 0,56 \)

Так как \( 0,5 \) \(≠\) \( 0,56 \), случайные величины X и Y независимы.

б) Таблица 33

Вычислим маргинальные вероятности:

Для X:

• \( P(X = -4) = \frac{4+5+7}{72} = \frac{16}{72} \)
• \( P(X = 5) = \frac{4+7+11}{72} = \frac{22}{72} \)
• \( P(X = 7) = \frac{5+15+14}{72} = \frac{34}{72} \)

Для Y:

• \( P(Y = 5) = \frac{4+4+5}{72} = \frac{13}{72} \)
• \( P(Y = 7) = \frac{5+7+15}{72} = \frac{27}{72} \)
• \( P(Y = 10) = \frac{7+11+14}{72} = \frac{32}{72} \)

Проверим условие независимости для нескольких пар:

• \( P(X=-4, Y=5) = \frac{4}{72} \)
• \( P(X=-4) · P(Y=5) = \frac{16}{72} · \frac{13}{72} = \frac{208}{5184} \)

Так как \( \frac{4}{72} = \frac{1}{18} = \frac{288}{5184} \), а \( \frac{208}{5184} \), то \( \frac{4}{72} \) \(≠\) \( \frac{16}{72} · \frac{13}{72} \), случайные величины X и Y независимы.

в) Таблица 34

Вычислим маргинальные вероятности:

Для X:

• \( P(X = -4) = \frac{1}{18} + \frac{1}{9} + \frac{1}{6} = \frac{1+2+3}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} \)
• \( P(X = 5) = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{3} = \frac{1+2+3}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)

Для Y:

• \( P(Y = 5) = \frac{1}{18} + \frac{1}{9} = \frac{1+2}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6} \)
• \( P(Y = 7) = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)
• \( P(Y = 10) = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)

Проверим условие независимости для нескольких пар:

• \( P(X=-4, Y=5) = \frac{1}{18} \)
• \( P(X=-4) · P(Y=5) = \frac{1}{3} · \frac{1}{6} = \frac{1}{18} \)

Равенство выполняется.

• \( P(X=-4, Y=7) = \frac{1}{9} \)
• \( P(X=-4) · P(Y=7) = \frac{1}{3} · \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \)

Равенство выполняется.

• \( P(X=-4, Y=10) = \frac{1}{6} \)
• \( P(X=-4) · P(Y=10) = \frac{1}{3} · \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \)

Равенство выполняется.

• \( P(X=5, Y=5) = \frac{1}{9} \)
• \( P(X=5) · P(Y=5) = \frac{2}{3} · \frac{1}{6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} \)

Равенство выполняется.

• \( P(X=5, Y=7) = \frac{2}{9} \)
• \( P(X=5) · P(Y=7) = \frac{2}{3} · \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \)

Равенство выполняется.

• \( P(X=5, Y=10) = \frac{1}{3} \)
• \( P(X=5) · P(Y=10) = \frac{2}{3} · \frac{1}{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)

Так как условие \( P(X=x, Y=y) = P(X=x) · P(Y=y) \) выполняется для всех пар \( (x, y) \), случайные величины X и Y независимы.

Ответ: В пункте а) случайные величины X и Y не независимы. В пунктах б) и в) случайные величины X и Y независимы.