1. Дано: РЕ || NK, MP = 8, MN = 12, МЕ = 6 (рис. 7.55). Найти: а) МК; б) РЕ: NK; в) S треугольника МMPE : S треугольника MNK 2. В трапеции ABCD (AD и ВС основания) диагонали пересекаются в точке О, Ѕ треугольника AOD = 32 см', S треугольна ВОС = 8. Найдите меньшее основание трапеции, если большее из них равно 10 см. 3. В треугольнике АВС известно, что <С=90°, АС = 8 см, ВС = 6 см. Найдите: 1) tgB; 2) sinA. 4. В прямоугольном треугольнике АВС (<С = 90°) известно, что АС = 12 см, tgA = 0,8. Найдите катет ВС.

Ответ: 1) 6; 2) 9,6

Решение:

4. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(AC = 12\) см, \(tg A = 0.8\)

Найти: BC

Решение:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к прилежащему:

\[tg A = \frac{BC}{AC}\]

Выразим \(BC\):

\[BC = AC \cdot tg A\]

Подставим известные значения:

\[BC = 12 \cdot 0.8 = 9.6\]

Ответ: 9,6 см

3. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(AC = 8\) см, \(BC = 6\) см

Найти: 1) \(tg B\); 2) \(sin A\)

Решение:

1) Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к прилежащему:

\[tg B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1.33\]

Ответ: \(\frac{4}{3}\)

2) Синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Найдем гипотенузу \(AB\) по теореме Пифагора:

\[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\] \[sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{10} = 0.6\]

Ответ: 0,6

2. Дано: ABCD - трапеция, AD и BC - основания, O - точка пересечения диагоналей, \(S_{AOD} = 32\) см², \(S_{BOC} = 8\) см², AD = 10 см.

Найти: BC

Решение:

Рассмотрим треугольники AOD и BOC. Они подобны по двум углам (углы AOD и BOC равны как вертикальные, углы DAO и BCO равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = k^2\] \[k^2 = \frac{32}{8} = 4\] \[k = \sqrt{4} = 2\]

Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон:

\[\frac{AD}{BC} = k\] \[\frac{10}{BC} = 2\] \[BC = \frac{10}{2} = 5\]

Ответ: 5 см.

1. Дано: РЕ || NK, MP = 8, MN = 12, МЕ = 6

Найти: а) МК; б) РЕ: NK; в) S треугольника MPE : S треугольника MNK

Решение:

а) Рассмотрим треугольники MPE и MNK. Угол M - общий, угол MEP = углу MNK как соответственные углы при параллельных прямых РЕ и NK и секущей ME. Следовательно, треугольники MPE и MNK подобны по двум углам.

Составим пропорцию:

\[\frac{ME}{MN} = \frac{MP}{MK}\] \[\frac{6}{12} = \frac{8}{MK}\] \[MK = \frac{12 \cdot 8}{6} = 16\] \[EK = MK - ME = 16 - 6 = 10\]

Ответ: MK = 16

б) \(\frac{PE}{NK} = \frac{ME}{MN} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\)

Ответ: 1/2

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[\frac{S_{MPE}}{S_{MNK}} = (\frac{ME}{MN})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\]

Ответ: 1/4

Ответ: а) 16; б) 1/2; в) 1/4