Дано: r = 3,5 см; OA = 7см. Найти: \( \angle BAC \). Решение:

Решение:

В данном задании изображена окружность с центром в точке О. Отрезки AB и AC являются касательными к окружности, проведенными из точки А. Точки касания — B и C.

Дано:

• Радиус окружности \( r = 3,5 \) см.
• Расстояние от точки А до центра окружности \( OA = 7 \) см.

Поскольку AB и AC — касательные к окружности, радиусы, проведенные в точки касания (OB и OC), перпендикулярны касательным:

\[ \angle OBA = 90^{\circ} \]\[ \angle OCA = 90^{\circ} \]

Рассмотрим прямоугольные треугольники \( \triangle OBA \) и \( \triangle OCA \).

У них:

• OB = OC = r (катеты, равные радиусу).
• OA — общая гипотенуза.

Следовательно, \( \triangle OBA = \triangle OCA \) по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует, что \( \angle OAB = \angle OAC \), то есть отрезок AO является биссектрисой угла \( \angle BAC \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle OBA \) найдем \( \sin(\angle OAB) \):

\[ \sin(\angle OAB) = \frac{OB}{OA} = \frac{3,5}{7} = 0,5 \]

Отсюда \( \angle OAB = 30^{\circ} \) (так как \( \sin(30^{\circ}) = 0,5 \)).

Так как \( OA \) — биссектриса \( \angle BAC \), то \( \angle BAC = 2 \cdot \angle OAB \).

\[ \angle BAC = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ} \]

Ответ: \( \angle BAC = 60^{\circ} \).