Дано: окружность с центром O, AC — касательная в точке C, AB — касательная в точке B, ∠OAC = 58°. Вычислить: а) ∠ABO; б) ∠AOC.

Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то \(OC \perp AC\) и \(OB \perp AB\). Следовательно, треугольники \(AOC\) и \(AOB\) прямоугольные.

В треугольнике \(AOC\):

\[\angle AOC=180^\circ-90^\circ-58^\circ=32^\circ.\]

Касательные из одной точки равны: \(AB=AC\). Радиусы окружности равны: \(OB=OC\). Поэтому треугольники \(AOB\) и \(AOC\) равны по трём сторонам, а соответствующие углы равны:

\[\angle BAO=\angle OAC=58^\circ.\]

В прямоугольном треугольнике \(AOB\):

\[\angle ABO=180^\circ-90^\circ-58^\circ=32^\circ.\]

Ответ: \(\angle ABO=32^\circ\); \(\angle AOC=32^\circ\).