Дано: O — середина AB, ∠1 = ∠2 (рис. 2.126). Доказать: ∠C = ∠D.

Так как O — середина отрезка AB, то \(AO=OB\). Углы \(AOC\) и \(BOD\) — вертикальные, поэтому \(\angle AOC=\angle BOD\).

По условию \(\angle 1=\angle 2\), то есть \(\angle CAO=\angle OBD\). Следовательно, треугольники \(AOC\) и \(BOD\) равны по стороне и двум прилежащим к ней углам:

\[AO=OB,\quad \angle CAO=\angle OBD,\quad \angle AOC=\angle BOD.\]

Значит, соответствующие углы равны:

\[\angle ACO=\angle ODB.\]

Эти углы являются углами \(C\) и \(D\) соответственно. Поэтому \(\boxed{\angle C=\angle D}\).