Дано: MN = 11 дм; ∠MNK = 60°. Найти: NK =

Решение:

В данном нам чертеже изображён треугольник MNK, вписанный в окружность. Угол ∠MNK является вписанным углом. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. В данном случае, угол ∠MNK опирается на дугу NK.

Центральный угол, опирающийся на дугу NK, это угол ∠NOK, где O — центр окружности.

Следовательно, \( \angle NOK = 2 \cdot \angle MNK \).

Подставим известное значение угла ∠MNK:

\( \angle NOK = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

Сторона NK в треугольнике MNK является хордой окружности. Радиус окружности равен MN = 11 дм.

Для нахождения длины хорды NK, рассмотрим треугольник NOK. Это равнобедренный треугольник, так как ON = OK = радиус окружности.

Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника NOK:

\( NK^2 = ON^2 + OK^2 - 2 \cdot ON \cdot OK \cdot \cos(\angle NOK) \)

Подставим известные значения:

\( NK^2 = 11^2 + 11^2 - 2 \cdot 11 \cdot 11 \cdot \cos(120^{\circ}) \)

\( NK^2 = 121 + 121 - 2 \cdot 121 \cdot (-\frac{1}{2}) \)

\( NK^2 = 242 + 121 \)

\( NK^2 = 363 \)

\( NK = \sqrt{363} \)

Чтобы упростить \( \sqrt{363} \), найдём множители числа 363: \( 363 = 3 \cdot 121 = 3 \cdot 11^2 \).

\( NK = \sqrt{11^2 \cdot 3} = 11 \sqrt{3} \)

Длина хорды NK равна \( 11\sqrt{3} \) дм.

Ответ: \( 11\sqrt{3} \) дм.