Дано: МК || АС, СМ — биссектриса ДАСВ, KF — биссектриса ДМКВ. Доказать: СМ || KF.

Доказательство:

1. Так как СМ — биссектриса ╁АСВ, то ∠ACM = ∠MCB.

2. Так как МК || АС, то ∠MCK = ∠ACM (как накрест лежащие углы при параллельных прямых МК и АС и секущей СМ).

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что ∠MCK = ∠MCB.

4. Так как KF — биссектриса ╁МКВ, то ∠MKF = ∠FKB.

5. Так как МК || АС, то ∠MKF = ∠CKF (как накрест лежащие углы при параллельных прямых МК и АС и секущей KF).

6. Рассмотрим углы ∠MCB и ∠CKF. Мы знаем, что ∠MCK = ∠MCB (из п. 3). Также из п. 5 имеем ∠MKF = ∠CKF. Но ∠MKF = ∠FKB (из п. 4). Таким образом, ∠FKB = ∠CKF.

7. Так как ∠MCB = ∠MCK (из п. 3) и ∠MCK = ∠CKF (из п. 5, так как ∠MKF = ∠MCK), то ∠MCB = ∠CKF.

8. Углы ∠MCB и ∠CKF являются накрест лежащими при прямых СМ и KF и секущей СК. Поскольку эти углы равны, то СМ || KF.

Что и требовалось доказать.