3. Дано: АВ = ВС = 5, AC = 6, BM1A1C1, ZMCB₁ = 45°.

Рассмотрим решение этой задачи шаг за шагом.

Обозначим высоту призмы за h, и рассмотрим прямоугольный треугольник B₁MC, где угол MCB₁ = 45°. Это означает, что треугольник B₁MC равнобедренный, и следовательно, B₁M = MC.

Шаг 1: Найдем медиану BM в треугольнике ABC

Медиана BM в треугольнике ABC может быть найдена с использованием теоремы косинусов или формулы медианы.

Воспользуемся формулой медианы, которая связывает длину медианы со сторонами треугольника:

\[ BM = \sqrt{\frac{2(AB^2 + BC^2) - AC^2}{4}} \]

Подставим значения AB = 5, BC = 5, AC = 6:

\[ BM = \sqrt{\frac{2(5^2 + 5^2) - 6^2}{4}} = \sqrt{\frac{2(25 + 25) - 36}{4}} = \sqrt{\frac{100 - 36}{4}} = \sqrt{\frac{64}{4}} = \sqrt{16} = 4 \]

Таким образом, BM = 4.

Шаг 2: Найдем MC

Так как B₁M ⊥ A₁C₁, то B₁M ⊥ AC, и следовательно, MC = BM = 4.

Шаг 3: Найдем высоту призмы h

В равнобедренном прямоугольном треугольнике B₁MC, B₁M = MC = 4. Значит, высота призмы h = B₁C также равна 4.

Шаг 4: Определим высоту призмы B₁M

Поскольку B₁M = MC = 4 и треугольник B₁MC прямоугольный и равнобедренный, то B₁M = 4.

Следовательно, высота призмы равна 4.

Ответ: 4