Дано: AO = 3. Найти: V - ?

Дано:

• \( AO = 3 \)
• \( \angle OAB = 30^\circ \)

Найти:

• Объём усечённого конуса \( V = ? \)

Решение:

1. Шаг 1: Найдём высоту усечённого конуса \( OO_1 \).
   Рассмотрим прямоугольный треугольник \( AOO_1 \).
   \( \tg 30^\circ = \frac{OO_1}{AO} \)
   \( OO_1 = AO \cdot \tg 30^\circ \)
   \( OO_1 = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \)
2. Шаг 2: Найдём меньший радиус \( O_1C \).
   Рассмотрим прямоугольный треугольник \( AOO_1 \). \( AO = 3, OO_1 = \sqrt{3} \)
   Тогда \( AO = OC = R = 3 \) и \( O_1C = r = OO_1 = \sqrt{3} \)
3. Шаг 3: Найдём объём усечённого конуса \( V \).
   \( V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2) \), где \( h = OO_1 = \sqrt{3}, R = 3, r = \sqrt{3} \).
   \( V = \frac{1}{3} \pi \sqrt{3} (3^2 + 3 \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) \)
   \( V = \frac{1}{3} \pi \sqrt{3} (9 + 3 \sqrt{3} + 3) \)
   \( V = \frac{1}{3} \pi \sqrt{3} (12 + 3 \sqrt{3}) \)
   \( V = \pi \sqrt{3} (4 + \sqrt{3}) \)
   \( V = \pi (4 \sqrt{3} + 3) \)

Ответ: \( V = \pi (4 \sqrt{3} + 3) \)