Дано: AD — биссектриса ∠BAC, AE — биссектриса ∠DAC, ∠BAE = 120°. Найти: ∠BAC.

Решение:

1. По условию, AD — биссектриса \( \angle BAC \), значит, \( \angle BAD = \angle DAC = \frac{1}{2} \angle BAC \).
2. По условию, AE — биссектриса \( \angle DAC \), значит, \( \angle DAE = \angle EAC = \frac{1}{2} \angle DAC \).
3. Угол \( \angle BAE \) состоит из углов \( \angle BAD \) и \( \angle DAE \), а также \( \angle EAC \).
4. Так как AE — биссектриса \( \angle DAC \), то \( \angle DAC = 2 \cdot \angle DAE \).
5. Так как AD — биссектриса \( \angle BAC \), то \( \angle BAC = 2 \cdot \angle BAD \).
6. Угол \( \angle BAE = \angle BAD + \angle DAE + \angle EAC \).
7. Так как \( \angle DAE = \angle EAC \), то \( \angle DAC = 2 \cdot \angle DAE \).
8. Так как \( \angle BAD = \angle DAC \), то \( \angle BAD = 2 \cdot \angle DAE \).
9. \( \angle BAE = \angle BAD + \angle DAC \).
10. \( \angle BAE = \angle BAD + 2 \cdot \angle BAD \).
11. \( \angle BAE = 3 \cdot \angle BAD \).
12. Нам дано \( \angle BAE = 120^{\circ} \).
13. \( 120^{\circ} = 3 \cdot \angle BAD \)
14. \( \angle BAD = \frac{120^{\circ}}{3} = 40^{\circ} \)
15. Так как AD — биссектриса \( \angle BAC \), то \( \angle BAC = 2 \cdot \angle BAD \).
16. \( \angle BAC = 2 \cdot 40^{\circ} = 80^{\circ} \).

Ответ: \( 80^{\circ} \).