Дано: △ABC - равнобедренный, AC - основание. AC = 16 см. BM - высота. BM = 15 см. Найти: r (вп.), R (оп.).

Решение:

Задана равнобедренная трапеция ABC, где AC является основанием. Высота BM равна 15 см, а основание AC равно 16 см.

Нам нужно найти радиус вписанной окружности (r) и радиус описанной окружности (R).

1. Радиус вписанной окружности (r):

Для равнобедренной трапеции радиус вписанной окружности равен половине высоты: \( r = \frac{h}{2} \). В данном случае высота \( h = BM = 15 \) см.

\( r = \frac{15}{2} = 7.5 \) см.

2. Радиус описанной окружности (R):

Для нахождения радиуса описанной окружности используем формулу: \( R = \frac{abc}{4S} \), где \( a, b, c \) — стороны трапеции, а \( S \) — её площадь.

Для начала найдём боковую сторону AB. В равнобедренной трапеции высота делит основание пополам, но здесь AC — основание, а BM — высота. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины угла между боковой стороной и основанием, делит основание пополам. Однако, в данном контексте, BM является высотой, поэтому она перпендикулярна основанию AC. В равнобедренной трапеции высота, опущенная на большее основание, делит его на два отрезка: отрезок, равный полуразности оснований, и отрезок, равный полусумме оснований. Но у нас дано только одно основание AC.

Предположим, что AC — это одно из оснований трапеции. Если трапеция равнобедренная, то её боковые стороны равны. Высота BM = 15 см. Если AC = 16 см — это основание, то рассмотрим треугольник ABM, который является прямоугольным. Однако, нам неизвестен отрезок AM.

Переосмысление условия:

Скорее всего, в задаче имеется в виду, что ABC — равнобедренный треугольник, а не трапеция, так как присутствует обозначение △. В таком случае AC — основание, а BM — высота, проведенная к этому основанию. AC = 16 см, BM = 15 см.

1. Радиус вписанной окружности (r):

Сначала найдём площадь треугольника S: \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 8 \cdot 15 = 120 \) см².

Теперь найдём длину боковой стороны AB. Так как треугольник равнобедренный, высота BM делит основание AC пополам: \( AM = MC = \frac{16}{2} = 8 \) см.

В прямоугольном треугольнике ABM по теореме Пифагора: \( AB^2 = AM^2 + BM^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 \).

\( AB = \sqrt{289} = 17 \) см. Следовательно, BC = 17 см.

Периметр треугольника P: \( P = AC + AB + BC = 16 + 17 + 17 = 50 \) см.

Радиус вписанной окружности \( r = \frac{S}{p} \), где \( p \) — полупериметр. \( p = \frac{P}{2} = \frac{50}{2} = 25 \) см.

\( r = \frac{120}{25} = 4.8 \) см.

2. Радиус описанной окружности (R):

Радиус описанной окружности находится по формуле: \( R = \frac{abc}{4S} \).

\( R = \frac{16 \cdot 17 \cdot 17}{4 \cdot 120} = \frac{16 \cdot 289}{480} = \frac{4624}{480} \).

\( R = \frac{4624}{480} = 9.6333... \) см.

Можно сократить дробь: \( R = \frac{16 \cdot 289}{16 \cdot 30} = \frac{289}{30} \) см.

\( R = 9 \frac{19}{30} \) см.

Итоговые ответы:

Радиус вписанной окружности (r) = 4.8 см.

Радиус описанной окружности (R) = \( \frac{289}{30} \) см.

Ответ: r = 4.8 см, R = \( \frac{289}{30} \) см.