Дано: А...D₁ - правильная призма. Найти: А₁К.

1. В правильной призме основание - правильный многоугольник. В данном случае, основание - треугольник. Так как призма правильная, то боковые грани прямоугольники, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Следовательно, АА₁ перпендикулярно плоскости основания АВС.
2. По условию, АА₁ = √22 и АВ = 6. Точка К является серединой ребра ВС (отмечено двумя штрихами).
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник А₁ВК. А₁В = АВ = 6 (так как основание правильное, то АВ = ВС = АС = 6). ВК = ВС/2 = 6/2 = 3.
4. По теореме Пифагора в треугольнике А₁ВК: А₁К² = А₁В² + ВК² = 6² + 3² = 36 + 9 = 45.
5. А₁К = √45 = √(9 * 5) = 3√5.