Дана треугольная пирамида DABC, боковое ребро DB перпендикулярно плоскости основания. Используя данные рисунка, выберите верные утверждения. 1) DCA - прямоугольный треугольник 2) Прямая АС перпендикулярна плоскости BCD 3) Углом между плоскостями ACD и ABC является угол DMB 4) Прямая BD перпендикулярна прямой АС 5) Углом между прямой АВ и плоскостью BCD является угол АНВ 6) Прямые АН и DM пересекающиеся Ответ запишите цифрами в порядке возрастания. Например: 145.

Решение:

Рассмотрим утверждения:

1. 1) DCA - прямоугольный треугольник. В основании пирамиды лежит прямоугольник (судя по обозначениям на рисунке: AM=MC, BH=HC). Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, AC = BD. DB перпендикулярно плоскости основания, значит, DB перпендикулярно AC. В треугольнике DCA, если AC перпендикулярно DB, то это не значит, что сам треугольник DCA прямоугольный. У нас нет информации о том, что угол ADC или DAC равен 90 градусам. Утверждение неверно.
2. 2) Прямая АС перпендикулярна плоскости BCD. DB перпендикулярно плоскости основания ABCD. AC лежит в плоскости основания. DB не перпендикулярно AC. Поэтому AC не перпендикулярно плоскости BCD. Утверждение неверно.
3. 3) Углом между плоскостями ACD и ABC является угол DMB. Плоскость ACD и плоскость ABC пересекаются по прямой AC. DB перпендикулярно AC. DM - высота в треугольнике ADC (так как DABC - пирамида, и, вероятно, ABC - прямоугольник). DH - высота в треугольнике DBC. Угол между плоскостями ACD и ABC - это угол между перпендикулярами к прямой AC, проведенными в этих плоскостях. DM и DH не обязательно перпендикулярны AC. Утверждение неверно.
4. 4) Прямая BD перпендикулярна прямой АС. DB является боковым ребром и перпендикулярно плоскости основания ABCD. AC является диагональю основания. Любая прямая, лежащая в плоскости основания и проходящая через точку пересечения с прямой DB, перпендикулярна DB. AC проходит через точку пересечения диагоналей основания (M), но не обязательно перпендикулярна DB. Однако, если ABCD - прямоугольник, то диагонали равны и пересекаются в точке M, но они не перпендикулярны. Если ABCD - квадрат, то диагонали перпендикулярны. Судя по рисунку, ABCD - прямоугольник, а не квадрат. Утверждение неверно.
5. 5) Углом между прямой АВ и плоскостью BCD является угол АНВ. Прямая AB не лежит в плоскости BCD. Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Проекция AB на плоскость BCD - это прямая HB (если AH перпендикулярно BH). Угол AHB - это угол между AB и HB. Утверждение верно.
6. 6) Прямые АН и DM пересекающиеся. AH - высота в треугольнике ABC. DM - высота в треугольнике ADC. В прямоугольном треугольнике ABC, AH - высота, проведенная из вершины прямого угла. В прямоугольном треугольнике ADC, DM - высота, проведенная из вершины прямого угла. Так как ABCD - прямоугольник, то AC является диагональю. Точка пересечения диагоналей M. DM и AH являются медианами и высотами в соответствующих треугольниках. Если ABCD - прямоугольник, то AM=MC=BM=MD. DM и AH не обязательно пересекаются. Утверждение неверно.

Повторный анализ:

Основание ABCD – прямоугольник. DB ⊥ ABCD. DB = 37. AC = 37. M - точка пересечения диагоналей.

1) DCA - прямоугольный треугольник. Угол ADC = 90 градусов. В прямоугольном треугольнике ADC, DB - высота. DB ⊥ AC. Угол ADB = 90 градусов. Это означает, что треугольник ADB прямоугольный. Нам нужно проверить треугольник DCA. В прямоугольном треугольнике ADC, DA ⊥ DC. Утверждение верно.

2) Прямая АС перпендикулярна плоскости BCD. DB ⊥ ABCD. AC лежит в ABCD. AC не перпендикулярно BCD.

3) Углом между плоскостями ACD и ABC является угол DMB. Плоскости ACD и ABC пересекаются по AC. DB ⊥ AC. DM - высота в треугольнике ADC. AH - высота в треугольнике ABC. Угол между плоскостями - угол между перпендикулярами к AC в этих плоскостях. DM и AH не перпендикулярны AC.

4) Прямая BD перпендикулярна прямой АС. DB ⊥ ABCD. AC лежит в ABCD. DB ⊥ AC. Утверждение верно.

5) Углом между прямой АВ и плоскостью BCD является угол АНВ. Проекция AB на BCD - это HB. Угол между AB и HB - это угол AHB. AH ⊥ HB. Утверждение верно.

6) Прямые АН и DM пересекающиеся. AH и DM - медианы/высоты в прямоугольных треугольниках ADC и ABC. Они пересекаются в точке M, центре прямоугольника.

Пересмотр:

1) DCA - прямоугольный треугольник. Угол ADC = 90 градусов, следовательно, DCA - прямоугольный. Верно.

4) Прямая BD перпендикулярна прямой АС. DB ⊥ ABCD, значит, DB перпендикулярна любой прямой в плоскости ABCD, включая AC. Верно.

5) Углом между прямой АВ и плоскостью BCD является угол АНВ. AB не лежит в плоскости BCD. Проекция A на плоскость BCD - это точка A. Проекция B на плоскость BCD - это точка B. Если AH ⊥ BCD, то AH - перпендикуляр. Угол между AB и плоскостью BCD - это угол между AB и ее проекцией. Если H - проекция A на BCD, то AH ⊥ BCD. Тогда угол между AB и BCD - это угол ABH. В данном случае, H - точка на BC. AH ⊥ BC. AH - высота в треугольнике ABC. Угол AHB - угол между AB и AH. Утверждение неверно.

6) Прямые АН и DM пересекающиеся. AH и DM - высоты в прямоугольных треугольниках ABC и ADC. M - середина AC. H - основание высоты из A на BC. DM - высота из D на AC. Они пересекаются в точке M.

Окончательный ответ:

1. DCA - прямоугольный треугольник. (Угол ADC = 90 градусов). Верно.

4. Прямая BD перпендикулярна прямой АС. (DB ⊥ ABCD, значит, DB ⊥ AC). Верно.

5. Углом между прямой АВ и плоскостью BCD является угол АНВ. (AH - высота в треугольнике ABC, H на BC. BH - проекция AB на плоскость BCD. Угол AHB - угол между AB и HB). Верно. (Если H - основание перпендикуляра из A на плоскость BCD. Тогда AH ⊥ BCD. HB - проекция AB на BCD. Угол AHB - угол между AB и HB). Уточнение: Проекция AB на плоскость BCD - это прямая HB. АН - высота в треугольнике ABC. Угол AHB - угол между AB и BH. Верно.

6. Прямые АН и DM пересекающиеся. (DM - высота в треугольнике ADC. AH - высота в треугольнике ABC. M - центр прямоугольника ABCD). Верно.

Уточнение из условия: боковое ребро DB перпендикулярно плоскости основания. ABCD - прямоугольник.

1) DCA - прямоугольный треугольник. Угол ADC = 90. Верно.

2) AC ⊥ BCD. Неверно.

3) Угол между плоскостями ACD и ABC - угол DMB. Пересекаются по AC. DB ⊥ AC. DM ⊥ AC. DH ⊥ AC. Угол между плоскостями - угол между DM и DH. Не DMB.

4) BD ⊥ AC. Верно, так как BD ⊥ ABCD.

5) Угол между AB и BCD - угол AHB. AB не лежит в BCD. Проекция AB на BCD - HB. Угол AHB - угол между AB и HB. Верно.

6) AH и DM пересекаются. AH и DM - медианы/высоты прямоугольников, пересекаются в центре M.

Таким образом, верными являются утверждения: 1, 4, 5, 6.

Ответ: 1456