Дана правильная четырёхугольная пирамида КАВCD, все рёбра которой равны 16 ед. изм. На рёбрах КС и KD соответственно отмечены серединные точки М и П. Определи косинус угла а между прямыми AN и DM. (Ответ запиши в виде сокращённой дроби.)

Решение:

Пусть сторона основания пирамиды равна a, а боковое ребро — b. В данной задаче a = b = 16.

Выберем систему координат. Поместим вершину пирамиды A в начало координат (0, 0, 0).

Пусть вершина C находится на оси Y, а вершина B — на оси X.

Координаты вершин:

• A = (0, 0, 0)
• B = (16, 0, 0)
• C = (0, 16, 0)
• D = (16, 16, 0)

Для нахождения координат вершины K, нам нужно знать высоту пирамиды. Используем теорему Пифагора для нахождения диагонали основания: d = \( \sqrt{16^2 + 16^2} = 16\sqrt{2} \). Центр основания находится в точке (8, 8, 0). Боковое ребро AK равно 16. Высота h найдем из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром, высотой и радиусом описанной окружности вокруг основания (половина диагонали): h = \( \sqrt{16^2 - (8\sqrt{2})^2} = \sqrt{256 - 128} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \).

Координаты вершины K = \(8, 8, 8\sqrt{2}\).

Серединные точки M и N:

• M — середина KC. M = (\( \frac{0+8}{2} \), \( \frac{16+8}{2} \), \( \frac{0+8\sqrt{2}}{2} \)) = \(4, 12, 4\sqrt{2}\)
• N — середина KD. N = (\( \frac{16+8}{2} \), \( \frac{16+8}{2} \), \( \frac{0+8\sqrt{2}}{2} \)) = \(12, 12, 4\sqrt{2}\)

Векторы AN и DM:

• AN = N - A = \(12, 12, 4\sqrt{2}\)
• DM = M - D = \(4-16, 12-16, 4\sqrt{2}-0\) = \(-12, -4, 4\sqrt{2}\)

Найдем косинус угла между векторами AN и DM по формуле: cos α = \( \frac{AN \cdot DM}{|AN| \cdot |DM|} \)

Скалярное произведение AN ⋅ DM:

• AN ⋅ DM = (12)(-12) + (12)(-4) + \(4\sqrt{2}\)\(4\sqrt{2}\) = -144 - 48 + 32 = -160

Длины векторов:

• |AN| = \( \sqrt{12^2 + 12^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{144 + 144 + 32} = \sqrt{320} = \sqrt{64 \times 5} = 8\sqrt{5} \)
• |DM| = \( \sqrt{(-12)^2 + (-4)^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{144 + 16 + 32} = \sqrt{192} = \sqrt{64 \times 3} = 8\sqrt{3} \)

Косинус угла α:

• cos α = \( \frac{-160}{(8\sqrt{5})(8\sqrt{3})} = \frac{-160}{64\sqrt{15}} = \frac{-2.5}{\sqrt{15}} \)

Чтобы получить сокращенную дробь, умножим числитель и знаменатель на √15:

• cos α = \( \frac{-2.5\sqrt{15}}{15} = \frac{-25\sqrt{15}}{150} = \frac{-\sqrt{15}}{6} \)

Если угол между прямыми, то косинус берется по модулю:

• cos α = |\( \frac{-\sqrt{15}}{6} \)| = \( \frac{\sqrt{15}}{6} \)

Примечание: Ориентация пирамиды и выбор системы координат могут влиять на знаки координат, но итоговый косинус угла между прямыми (не векторами) останется прежним по модулю.

Ответ: \( \frac{\sqrt{15}}{6} \).