Дана линейная функция y = kx - 5. При каком значении k график этой функции пересекает график прямой пропорциональности y = 2x?

Решение:

Чтобы графики двух линейных функций пересекались, их значения \( y \) должны быть равны при определённом значении \( x \).

Приравниваем правые части уравнений:

\[ kx - 5 = 2x \]

Перенесём все члены с \( x \) в одну сторону, а константы — в другую:

\[ kx - 2x = 5 \]

Вынесем \( x \) за скобки:

\[ x(k - 2) = 5 \]

Чтобы найти \( x \), разделим обе части на \( (k - 2) \):

\[ x = \frac{5}{k - 2} \]

Теперь подставим это значение \( x \) в уравнение прямой пропорциональности \( y = 2x \):

\[ y = 2 \cdot \frac{5}{k - 2} = \frac{10}{k - 2} \]

Условие пересечения графиков означает, что эти графики имеют одну общую точку. В этой точке значения \( y \) равны. Из уравнения \( y = kx - 5 \) при \( x = \frac{5}{k - 2} \) мы получаем:

\[ y = k \cdot \frac{5}{k - 2} - 5 = \frac{5k}{k - 2} - 5 = \frac{5k - 5(k - 2)}{k - 2} = \frac{5k - 5k + 10}{k - 2} = \frac{10}{k - 2} \]

Таким образом, мы видим, что значения \( y \) совпадают. Для того чтобы графики пересекались, \( k \) не должно быть равно 2 (иначе знаменатель обратится в ноль, и \( x \) не будет определён).

Теперь рассмотрим предложенные варианты ответа:

• Если \( k = 0 \), то \( y = -5 \) и \( y = 2x \). Приравняем: \( -5 = 2x \) \( \implies x = -2.5 \). Графики пересекаются.
• Если \( k = \frac{1}{2} \), то \( y = \frac{1}{2}x - 5 \) и \( y = 2x \). Приравняем: \( \frac{1}{2}x - 5 = 2x \) \( \implies -5 = 2x - \frac{1}{2}x \) \( \implies -5 = \frac{3}{2}x \) \( \implies x = -5 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{10}{3} \). Графики пересекаются.
• Если \( k = -2 \), то \( y = -2x - 5 \) и \( y = 2x \). Приравняем: \( -2x - 5 = 2x \) \( \implies -5 = 4x \) \( \implies x = -\frac{5}{4} \). Графики пересекаются.
• Если \( k = 2 \), то \( y = 2x - 5 \) и \( y = 2x \). Эти графики параллельны и не пересекаются, так как угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны.

Таким образом, при \( k = 2 \) графики не пересекаются. Следовательно, график функции \( y = kx - 5 \) пересекает график прямой пропорциональности \( y = 2x \) при всех значениях \( k \), кроме \( k = 2 \).

В задании необходимо выбрать значение \( k \), при котором графики ПЕРЕСЕКАЮТСЯ. Вариант \( k = 2 \) приводит к параллельным линиям. Все остальные варианты приводят к пересечению.

Поскольку в вариантах предложены конкретные значения, ищем значение \( k \), при котором происходит пересечение. Единственное значение, при котором пересечения НЕ происходит, это \( k = 2 \). Следовательно, для всех остальных значений \( k \) пересечение происходит.

Однако, формулировка задания «При каком значении k график этой функции пересекает график прямой пропорциональности y = 2x?» подразумевает выбор одного из предложенных вариантов, где происходит пересечение. Если бы было дано задание «При каком значении k графики НЕ пересекаются?», то ответ был бы 2.

Поскольку нам нужно найти значение \( k \), при котором графики ПЕРЕСЕКАЮТСЯ, и вариант \( k=2 \) приводит к параллельным линиям, мы должны выбрать один из оставшихся вариантов, при которых происходит пересечение.

Если посмотреть внимательно на варианты ответов, то \( k = -2 \) является одним из возможных значений, при котором происходит пересечение. В случае, когда \( k = -2 \), \( y = -2x - 5 \). Приравнивая \( -2x - 5 = 2x \), получаем \( 4x = -5 \), \( x = -5/4 \). \( y = 2 \cdot (-5/4) = -5/2 \). Точка пересечения \( (-5/4, -5/2) \).

Таким образом, при \( k = -2 \) графики пересекаются.

Ответ: -2