Дана функция \(f(x) = |x^2 - 7| - 3x + 3.\) Найдите все значения с, при которых уравнение \(f(x) = c\) имеет нечётное количество корней. Если таких значений несколько, укажите в ответе наибольшее из них.

Решение:

Для решения задачи построим график функции \(y = f(x) = |x^2 - 7| - 3x + 3\). Уравнение \(f(x) = c\) будет иметь нечётное количество корней, когда прямая \(y = c\) пересекает график \(y = f(x)\) в точках, где график имеет "изломы" (вершины или точки, где снимается модуль).

1. Раскроем модуль: \(|x^2 - 7|\) равен \(x^2 - 7\) при \(x^2 - 7 \ge 0\) (то есть \(x \in (-\infty; -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}; \infty)\)) и равен \(-(x^2 - 7) = 7 - x^2\) при \(x^2 - 7 < 0\) (то есть \(x \in (-\sqrt{7}; \sqrt{7})\)).
2. Рассмотрим два случая для функции \(f(x)\):
   • Случай 1: \(x \in (-\infty; -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}; \infty)\). \(f(x) = (x^2 - 7) - 3x + 3 = x^2 - 3x - 4\).
   • Случай 2: \(x \in (-\sqrt{7}; \sqrt{7})\). \(f(x) = (7 - x^2) - 3x + 3 = -x^2 - 3x + 10\).
3. Найдем "изломы" на графике:
4. Точки, где меняется знак под модулем: \(x = \sqrt{7}\) и \(x = -\sqrt{7}\).
5. Значения функции в этих точках:
   • При \(x = \sqrt{7}\) (первый случай): \(f(\sqrt{7}) = (\sqrt{7})^2 - 3\sqrt{7} - 4 = 7 - 3\sqrt{7} - 4 = 3 - 3\sqrt{7}\).
   • При \(x = -\sqrt{7}\) (первый случай): \(f(-\sqrt{7}) = (-\sqrt{7})^2 - 3(-\sqrt{7}) - 4 = 7 + 3\sqrt{7} - 4 = 3 + 3\sqrt{7}\).
   • При \(x = \sqrt{7}\) (второй случай, граничная точка): \(f(\sqrt{7}) = -(\sqrt{7})^2 - 3\sqrt{7} + 10 = -7 - 3\sqrt{7} + 10 = 3 - 3\sqrt{7}\).
   • При \(x = -\sqrt{7}\) (второй случай, граничная точка): \(f(-\sqrt{7}) = -(-\sqrt{7})^2 - 3(-\sqrt{7}) + 10 = -7 + 3\sqrt{7} + 10 = 3 + 3\sqrt{7}\).
6. Вершины парабол:
   • Для \(y = x^2 - 3x - 4\) (ветви вверх), вершина при \(x = -\frac{-3}{2} = 1.5\). \(1.5\) находится в интервале \([\sqrt{7}; \infty)\) (так как \(\sqrt{7} \approx 2.65\))? Нет, \(1.5 < \sqrt{7}\). Значит, эта часть параболы используется вне диапазона \([\sqrt{7}; \infty)\). Вершина находится в \(x = 1.5\), но эта часть графика не используется.
   • Для \(y = -x^2 - 3x + 10\) (ветви вниз), вершина при \(x = -\frac{-3}{2} = 1.5\). \(1.5\) находится в интервале \((-\sqrt{7}; \sqrt{7})\). \(f(1.5) = -(1.5)^2 - 3(1.5) + 10 = -2.25 - 4.5 + 10 = 3.25\).
7. График будет состоять из частей двух парабол.
8. Количество корней будет нечётным, когда прямая \(y = c\) проходит через точки "изломов" или вершины параболы с ветвями вниз (где функция локально меняет направление с роста на убывание).
9. Точки "изломов": \(x = \sqrt{7}\) и \(x = -\sqrt{7}\). Соответствующие значения \(f(x)\): \(3 - 3\sqrt{7}\) и \(3 + 3\sqrt{7}\).
10. Вершина параболы с ветвями вниз: \(y = 3.25\).
11. Значения \(c\), при которых уравнение имеет нечётное количество корней, это: \(3 - 3\sqrt{7}\), \(3.25\), \(3 + 3\sqrt{7}\).
12. Нам нужно наибольшее из этих значений. \(\sqrt{7} \approx 2.65\).
13. \(3 - 3\sqrt{7} \approx 3 - 3(2.65) = 3 - 7.95 = -4.95\).
14. \(3.25\).
15. \(3 + 3\sqrt{7} \approx 3 + 7.95 = 10.95\).
16. Наибольшее значение равно \(3 + 3\sqrt{7}\).

Ответ: 3 + 3\(\sqrt{7}\)