Дана функция f(x) = 4 - (8 / (x + 4)). 1) Постройте график функции y = f(x). 2) При каких значениях c уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение?

Решение:

1. Построение графика функции \( y = f(x) \)

Дана функция \( f(x) = 4 - \frac{8}{x+4} \).

Это дробно-линейная функция. Её график — гипербола.

Чтобы найти асимптоты, рассмотрим:

• Вертикальная асимптота: Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. \( x+4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4 \). Значит, \( x = -4 \) — вертикальная асимптота.
• Горизонтальная асимптота: При \( |x| \to \infty \), \( \frac{8}{x+4} \to 0 \). Следовательно, \( y \to 4 \). Значит, \( y = 4 \) — горизонтальная асимптота.

Чтобы построить график, найдём несколько точек:

• При \( x = -3 \): \( y = 4 - \frac{8}{-3+4} = 4 - 8 = -4 \). Точка: (-3, -4).
• При \( x = -5 \): \( y = 4 - \frac{8}{-5+4} = 4 - \frac{8}{-1} = 4 + 8 = 12 \). Точка: (-5, 12).
• При \( x = 0 \): \( y = 4 - \frac{8}{0+4} = 4 - 2 = 2 \). Точка: (0, 2).
• При \( x = 4 \): \( y = 4 - \frac{8}{4+4} = 4 - 1 = 3 \). Точка: (4, 3).

2. Значения \( c \), при которых уравнение \( f(x) = c \) имеет ровно одно решение.

Уравнение \( f(x) = c \) имеет ровно одно решение, если прямая \( y = c \) пересекает график функции \( y = f(x) \) ровно в одной точке.

На графике видно, что прямая \( y = c \) будет пересекать гиперболу ровно в одной точке для любого значения \( c \), кроме значений, совпадающих с горизонтальной асимптотой, так как гипербола никогда не пересекает свою горизонтальную асимптоту.

Горизонтальная асимптота — \( y = 4 \).

Следовательно, уравнение \( f(x) = c \) имеет ровно одно решение при \( c \neq 4 \).

Ответ: \( c \neq 4 \).