Дана функция f (x) = |8/(x+2)|-4. 1) Постройте график функции у = f (x). 2) При каких значениях с уравнение f(x) = с имеет ровно одно решение?

1) Построение графика функции

• Шаг 1: Строим график функции \(y = \frac{8}{x}\). Это гипербола с центром в начале координат.
• Шаг 2: Строим график функции \(y = \frac{8}{x+2}\). Это сдвиг графика \(y = \frac{8}{x}\) влево на 2 единицы.
• Шаг 3: Строим график функции \(y = |\frac{8}{x+2}|\). Это отображение нижней части графика \(y = \frac{8}{x+2}\) симметрично относительно оси x.
• Шаг 4: Строим график функции \(y = |\frac{8}{x+2}| - 4\). Это сдвиг графика \(y = |\frac{8}{x+2}|\) вниз на 4 единицы.

2) Нахождение значений c

• Прямая \(y = c\) имеет с графиком функции \(y = |\frac{8}{x+2}| - 4\) ровно одну точку пересечения, когда она касается графика в точке минимума или проходит через точку излома.
• Точка минимума графика находится в точке \(x = -2\), но в этой точке функция не определена. Однако, при приближении к этой точке слева и справа, функция стремится к бесконечности.
• Точки излома графика находятся там, где \(\frac{8}{x+2} = 0\), что невозможно, и в точках, где \(x = -2\), где функция не определена. Также точки излома появляются после сдвига графика вниз на 4 единицы, то есть при \(y = -4\).
• Найдем значения \(c\), при которых прямая \(y = c\) имеет с графиком ровно одну точку пересечения.

Рассмотрим случай, когда \(y = -4\). Прямая \(y = -4\) касается графика в точках излома, которые возникают после отображения нижней части графика симметрично относительно оси x.

• При \(c = -4\) уравнение \(f(x) = c\) имеет вид \(|\frac{8}{x+2}| - 4 = -4\), что равносильно \(|\frac{8}{x+2}| = 0\). Это уравнение не имеет решений, так как модуль не может быть равен нулю, если числитель не равен нулю.
• При \(c > -4\) уравнение \(f(x) = c\) может иметь одно решение, если прямая касается графика в точке, где \(x = -2\). Однако, в этой точке функция не определена.

График функции \(f(x) = |\frac{8}{x+2}| - 4\) имеет горизонтальную асимптоту \(y = -4\). Прямая \(y = c\) имеет ровно одну точку пересечения с графиком, когда \(c < -4\) и \(c > 4\).

• При \(c = -4\) уравнение не имеет решений.
• При \(c = 4\) уравнение имеет одно решение.

Рассмотрим случай, когда \(|\frac{8}{x+2}| - 4 = c\). Тогда \(|\frac{8}{x+2}| = c + 4\). Если \(c + 4 > 0\), то есть \(c > -4\), уравнение имеет два решения. Если \(c + 4 = 0\), то есть \(c = -4\), уравнение не имеет решений. Если \(c + 4 < 0\), то есть \(c < -4\), уравнение имеет два решения.

Таким образом, уравнение \(f(x) = c\) имеет ровно одно решение при \(c > 4\) и \(c < -4\).