Дан треугольник АВС, в котором известно, что АВ = 4 см, ВС = 8см, угол АВС равен 60°. Найдите сторону АС и площадь треугольника ABC.

Дано:

\( \triangle ABC \)

\( AB = 4 \) см

\( BC = 8 \) см

\( \angle ABC = 60^{\circ} \)

Найти:

\( AC \) - ?

S \( \triangle ABC \)

Решение:

1. Найдём сторону AC по теореме косинусов:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC) \]\[ AC^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos(60^{\circ}) \]\[ AC^2 = 16 + 64 - 64 \cdot \frac{1}{2} \]\[ AC^2 = 80 - 32 \]\[ AC^2 = 48 \]\[ AC = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \) см

2. Найдём площадь треугольника ABC:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) \]\[ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \cdot \sin(60^{\circ}) \]\[ S = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]\[ S = 16 \(\cdot\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 8\(\sqrt{3}\) \) см²

Ответ: \( AC = 4\sqrt{3} \) см, \( S = 8\sqrt{3} \) см².