Дан прямоугольный параллелепипед ABCDABCD₁, в основании которого лежит прямоугольник со сторонами AB = 1 и BC = √7. Известно, что CC₁ = 4√2 и что точка М является серединой ребра AA₁. Найдите косинус угла между прямыми BM и C₁A.

Пусть точка A имеет координаты (0, 0, 0). Тогда координаты вершин будут: A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, √7, 0), D(0, √7, 0), A₁(0, 0, 4√2), B₁(1, 0, 4√2), C₁(1, √7, 4√2), D₁(0, √7, 4√2).

Точка M является серединой ребра AA₁, следовательно, M имеет координаты (0, 0, 2√2).

Вектор BM = M - B = (0 - 1, 0 - 0, 2√2 - 0) = (-1, 0, 2√2).

Вектор C₁A = A - C₁ = (0 - 1, 0 - √7, 0 - 4√2) = (-1, -√7, -4√2).

Косинус угла между прямыми BM и C₁A находится по формуле: cos(θ) = (BM · C₁A) / (|BM| * |C₁A|).

BM · C₁A = (-1)(-1) + (0)(-√7) + (2√2)(-4√2) = 1 + 0 - 16 = -15.

|BM| = √((-1)² + 0² + (2√2)²) = √(1 + 0 + 8) = √9 = 3.

|C₁A| = √((-1)² + (-√7)² + (-4√2)²) = √(1 + 7 + 32) = √40 = 2√10.

cos(θ) = -15 / (3 * 2√10) = -15 / (6√10) = -5 / (2√10) = -5√10 / 20 = -√10 / 4.