Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, у которого известны длины ребер: АВ = 8, AD = 7 и АA₁ = 24. Определите площадь сечения параллелепипеда плоскостью АВС1. Определите периметр сечения параллелепипеда плоскостью АВС 1.

Решение: 1. Определим площадь сечения параллелепипеда плоскостью $$ABC_1$$. Сечение $$ABC_1$$ представляет собой прямоугольный треугольник, где $$AB$$ и $$BC_1$$ являются катетами. Длина катета $$AB$$ равна 8. Длину катета $$BC_1$$ найдем, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике $$BCC_1$$: $$BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2}$$ Так как $$BC = AD = 7$$ и $$CC_1 = AA_1 = 24$$, то: $$BC_1 = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$$ Площадь прямоугольного треугольника $$ABC_1$$ равна половине произведения его катетов: $$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 25 = 4 \cdot 25 = 100$$ Таким образом, площадь сечения параллелепипеда плоскостью $$ABC_1$$ равна 100. 2. Определим периметр сечения параллелепипеда плоскостью $$ABC_1$$. Периметр треугольника $$ABC_1$$ равен сумме длин всех его сторон: $$P_{ABC_1} = AB + BC_1 + AC_1$$ Длины сторон $$AB$$ и $$BC_1$$ уже известны: $$AB = 8$$, $$BC_1 = 25$$. Найдем длину стороны $$AC_1$$, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике $$ACC_1$$: $$AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2}$$ Так как $$AC$$ является диагональю прямоугольника $$ABCD$$, найдем ее длину, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике $$ABC$$: $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 7^2} = \sqrt{64 + 49} = \sqrt{113}$$ Тогда: $$AC_1 = \sqrt{(\sqrt{113})^2 + 24^2} = \sqrt{113 + 576} = \sqrt{689}$$ Следовательно, периметр треугольника $$ABC_1$$ равен: $$P_{ABC_1} = 8 + 25 + \sqrt{689} = 33 + \sqrt{689} \approx 33 + 26.25 = 59.25$$ Таким образом, периметр сечения параллелепипеда плоскостью $$ABC_1$$ приблизительно равен 59.25.