Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, в основании которого лежит квадрат ABCD со стороной AB = 2. Известно, что BB₁ = 4√3 и что точка K — середина ребра AA₁. Найдите косинус угла между прямыми B₁C и KD.

Решение:

Введём систему координат. Пусть вершина A совпадает с началом координат (0, 0, 0). Тогда:

• Координаты точки B: (2, 0, 0)
• Координаты точки C: (2, 2, 0)
• Координаты точки D: (0, 2, 0)
• Координаты точки A₁: (0, 0, 4√3)
• Координаты точки B₁: (2, 0, 4√3)
• Координаты точки K (середина AA₁): (0, 0, 2√3)

Найдем векторы прямых B₁C и KD:

• Вектор \( { B₁C \u007D \): \( C - B₁ = (2 - 2, 2 - 0, 0 - 4{}{}) = (0, 2, -4{}{}) \)
• Вектор \( { KD \u007D \): \( D - K = (0 - 0, 2 - 0, 0 - 2{}{}) = (0, 2, -2{}{}) \)

Найдем косинус угла между векторами по формуле:

\[ \cos(\alpha) = \frac{| \vec{a} \cdot \vec{b} |}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \]

Скалярное произведение векторов \( { B₁C \u007D \) и \( { KD \u007D \):

\[ { B₁C \u007D \cdot \u007B KD \u007D = (0)(0) + (2)(2) + (-4{}{})(-2{}{}) = 0 + 4 + 8 {}^2 = 4 + 8(4 {}^2) = 4 + 32 = 36 \]

Длины векторов:

• \( | \u007B B₁C \u007D | = \sqrt{0^2 + 2^2 + (-4{}{})^2} = \sqrt{4 + 16 {}^2} = \sqrt{4 + 16(4)} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} \)
• \( | \u007B KD \u007D | = \sqrt{0^2 + 2^2 + (-2{}{})^2} = \sqrt{4 + 4 {}^2} = \sqrt{4 + 4(4)} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \)

Теперь найдем косинус угла:

\[ \cos(\alpha) = \frac{|36|}{\sqrt{68} \cdot \sqrt{20}} = \frac{36}{\sqrt{1360}} = \frac{36}{\sqrt{16 {} 85}} = \frac{36}{4\sqrt{85}} = \frac{9}{\sqrt{85}} \]

Умножим числитель и знаменатель на \( {} \):

\[ \cos(\alpha) = \frac{9\sqrt{85}}{85} \]

Ответ: {}