Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, в основании которого лежит квадрат ABCD со стороной АВ = √2. Известно, что ВВ₁ = 4 и что точка К — середина ребра АА₁. Найдите косинус угла между прямыми ВС₁ и KD.

Решение:

• Дано: Прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. ABCD - квадрат, AB = √2, BB₁ = 4, K - середина AA₁.
• Найти: cos(BC₁, KD)

Логика такая: нужно найти координаты векторов ВС₁ и KD в некоторой системе координат, а затем использовать формулу косинуса угла между векторами через их скалярное произведение и длины.

Обозначим координаты точек:

• A(0, 0, 0)
• B(√2, 0, 0)
• C(√2, √2, 0)
• D(0, √2, 0)
• A₁(0, 0, 4)
• B₁(√2, 0, 4)
• C₁(√2, √2, 4)
• D₁(0, √2, 4)
• K(0, 0, 2)

Теперь найдем координаты векторов:

• BC₁ = C₁ - B = (√2, √2, 4) - (√2, 0, 0) = (0, √2, 4)
• KD = D - K = (0, √2, 0) - (0, 0, 2) = (0, √2, -2)

Косинус угла между векторами находится по формуле:

\[cos(θ) = \frac{BC₁ · KD}{|BC₁| · |KD|}\]

Где BC₁ · KD - скалярное произведение векторов, |BC₁| и |KD| - их длины.

Считаем скалярное произведение:

\[BC₁ · KD = (0)(0) + (√2)(√2) + (4)(-2) = 0 + 2 - 8 = -6\]

Считаем длины векторов:

\[|BC₁| = \sqrt{0^2 + (√2)^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 2 + 16} = \sqrt{18} = 3√2\]\[|KD| = \sqrt{0^2 + (√2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 2 + 4} = \sqrt{6}\]

Подставляем в формулу косинуса:

\[cos(θ) = \frac{-6}{3√2 · √6} = \frac{-6}{3√(2 · 6)} = \frac{-6}{3√12} = \frac{-2}{√12} = \frac{-2}{2√3} = \frac{-1}{√3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\]

Ответ: cos(BC₁, KD) = -√3/3