Контрольные задания > Дан параллелепипед ABCDABCD₁. Найдите сумму векторов: а) AB + B₁C₁ + DD₁ + CD; 6) B₁C₁ + AB + DD₁ + CB₁ + BC + A₁A; B) BA + AC + CB + DC + DA.
Вопрос:

Дан параллелепипед ABCDABCD₁. Найдите сумму векторов: а) AB + B₁C₁ + DD₁ + CD; 6) B₁C₁ + AB + DD₁ + CB₁ + BC + A₁A; B) BA + AC + CB + DC + DA.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение: Для решения задачи будем использовать свойства параллелепипеда, а именно параллельность и равенство противоположных сторон, а также правило сложения векторов.

а) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B_1C_1} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{CD}\)

  • Шаг 1: Заметим, что \(\overrightarrow{B_1C_1} = \overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AA_1}\).
  • Шаг 2: Перепишем выражение: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{CD}\).
  • Шаг 3: Сложим \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\), тогда выражение будет выглядеть так: \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{CD}\).
  • Шаг 4: Заметим, что \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}\), поэтому получаем \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}\).
  • Шаг 5: \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{AD_1}\).

Ответ: \(\overrightarrow{AD_1}\)

б) \(\overrightarrow{B_1C_1} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{CB_1} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{A_1A}\)

  • Шаг 1: Заметим, что \(\overrightarrow{B_1C_1} = \overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AA_1}\).
  • Шаг 2: Перепишем выражение: \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{CB_1} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{A_1A}\).
  • Шаг 3: Заметим, что \(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{A_1A} = \overrightarrow{0}\), поэтому они сокращаются.
  • Шаг 4: Перегруппируем векторы: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB_1}\).
  • Шаг 5: Сложим \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\), тогда выражение будет выглядеть так: \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB_1}\).
  • Шаг 6: Сложим \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB_1} = \overrightarrow{BB_1}\), поэтому получаем \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BB_1}\).

Ответ: \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BB_1}\)

в) \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA}\)

  • Шаг 1: Перегруппируем векторы: \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA}\).
  • Шаг 2: Сложим \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}\), тогда выражение будет выглядеть так: \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA}\).
  • Шаг 3: Заметим, что \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{0}\), поэтому они сокращаются.
  • Шаг 4: Остается \(\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA}\).

Ответ: \(\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA}\)

ГДЗ по фото 📸