Дан отрезок AD. В одной полуплоскости относительно прямой AD лежат точки В и С такие, что ∠ BAD = ∠ CDA, < BAC = ∠ CDB. Найдите длины отрезков АС и CD, если АВ = 5 см, BD = 6 см.

Решение:

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle DCA \).

У нас дано, что \( \angle BAD = \angle CDA \) и \( \angle BAC = \angle CDB \).

Из этих условий следует, что \( \angle DAB = \angle ADC \) (дано) и \( \angle CAB = \angle BDC \) (дано).

Рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle BCD \).

Из условия \( \angle BAD = \angle CDA \) и \( \angle BAC = \angle CDB \), мы можем заключить, что \( \triangle ABD \sim \triangle DCA \) по двум углам. Это означает, что соотношение сторон будет:

\( \frac{AB}{DC} = \frac{BD}{CA} = \frac{AD}{DA} \)

\( \frac{AB}{DC} = \frac{BD}{CA} = 1 \)

Отсюда получаем:

\( AB = DC \) и \( BD = CA \)

Подставляем известные значения:

\( AC = BD = 6 \) см.

\( CD = AB = 5 \) см.

Ответ: АС = 6 см; CD = 5 см.