10. Дан квадрат ABCD с периметром 60 см. На его сторонах отме- тили точки М, №, Р, К (см. рисунок). МАРК - прямоуголь ник. Найдите его площадь.

Ответ: 112,5 см²

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем сторону квадрата ABCD. Так как периметр квадрата равен 60 см, то сторона квадрата равна: \[ \frac{60}{4} = 15 \] см.
• Шаг 2: Обозначим длину отрезка AM через x. Тогда MB = 15 - x. Так как MNPK - прямоугольник, то MN = PK и MP = NK. По условию задачи, точки M, N, P, K расположены так, что MNPK - прямоугольник. Значит, AM = AN = x и MB = BP = 15 - x.
• Шаг 3: Найдем стороны прямоугольника MNPK. Сторона MN является гипотенузой в прямоугольном треугольнике AMN. По теореме Пифагора: \[ MN^2 = AM^2 + AN^2 = x^2 + x^2 = 2x^2 \] \[ MN = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2} \] Сторона MP является гипотенузой в прямоугольном треугольнике DMP, где DM = 15 - x и DP = x. По теореме Пифагора: \[ MP^2 = DM^2 + DP^2 = (15 - x)^2 + (15 - x)^2 = 2(15 - x)^2 \] \[ MP = \sqrt{2(15 - x)^2} = (15 - x)\sqrt{2} \]
• Шаг 4: Найдем площадь прямоугольника MNPK. Площадь прямоугольника MNPK равна: \[ S = MN \cdot MP = x\sqrt{2} \cdot (15 - x)\sqrt{2} = 2x(15 - x) \] \[ S = 30x - 2x^2 \]
• Шаг 5: По условию, MNPK — прямоугольник, значит, все углы прямые. Рассмотрим треугольник AMN. Так как угол MAN прямой, то треугольник AMN — прямоугольный и равнобедренный (AM = AN). Следовательно, угол ANM = 45°. Аналогично, угол BPM = 45°. Значит, угол MNP = 90° (угол квадрата). Следовательно, \[ ANM + MNP + BPM = 45 + 90 + 45 = 180 \] Отсюда следует, что точки M, N, P лежат на одной прямой. Это возможно только если MNPK — квадрат, а не прямоугольник общего вида.
• Шаг 6: Поскольку MNPK - квадрат, то MN = MP, значит \[ x\sqrt{2} = (15 - x)\sqrt{2} \] \[ x = 15 - x \] \[ 2x = 15 \] \[ x = 7.5 \]
• Шаг 7: Найдем площадь квадрата MNPK. Подставим значение x в формулу площади: \[ S = 2 \cdot 7.5 \cdot (15 - 7.5) = 2 \cdot 7.5 \cdot 7.5 = 15 \cdot 7.5 = 112.5 \]

Ответ: 112,5 см²