Дан куб ABCD A1B1C1D1. На рёбрах В1С1 и С₁ D₁ соответственно находятся точки № и М так, что B₁N: NC1 = 1 : 4; C₁M : MD1 = 1 : 1. Определи косинус угла а между прямыми BN и СМ, если ребро куба равняется 1 ед. изм.

Question

Вопрос:

Дан куб ABCD A1B1C1D1. На рёбрах В1С1 и С₁ D₁ соответственно находятся точки № и М так, что B₁N: NC1 = 1 : 4; C₁M : MD1 = 1 : 1. Определи косинус угла а между прямыми BN и СМ, если ребро куба равняется 1 ед. изм.

Открыть фото

Ответ:

📄 Все решения с фото 📸 Фото ГДЗ

Accepted Answer

Решение:

Обозначим длину ребра куба как \( a = 1 \).

Введём систему координат. Пусть вершина \( C_1 \) будет началом координат \( (0,0,0) \). Оси \( C_1x \), \( C_1y \), \( C_1z \) направим вдоль рёбер \( C_1D_1 \), \( C_1B_1 \), \( C_1C \) соответственно.

Тогда координаты вершин будут:

\( C_1 = (0,0,0) \)
\( B_1 = (0,1,0) \)
\( D_1 = (1,0,0) \)
\( A_1 = (1,1,0) \)
\( C = (0,0,1) \)
\( B = (0,1,1) \)
\( D = (1,0,1) \)
\( A = (1,1,1) \)

Найдём координаты точек \( N \) и \( M \).

Точка \( N \) лежит на ребре \( B_1C_1 \) так, что \( B_1N : NC_1 = 1:4 \). Так как \( B_1 = (0,1,0) \) и \( C_1 = (0,0,0) \), то длина ребра \( B_1C_1 = 1 \).

Координаты \( N \) можно найти как \( N = \frac{4B_1 + 1C_1}{1+4} \) или учитывая, что \( C_1N = \frac{4}{5} C_1B_1 \).

\( N = (0, 4/5, 0) \).

Точка \( M \) лежит на ребре \( C_1D_1 \) так, что \( C_1M : MD_1 = 1:1 \). Это середина ребра \( C_1D_1 \).

\( M = (1/2, 0, 0) \).

Теперь найдём векторы \( BN \) и \( CM \).

Координаты точки \( B \) — \( (0,1,1) \).

Вектор \( BN \): \( N - B = (0 - 0, 4/5 - 1, 0 - 1) = (0, -1/5, -1) \).

Координаты точки \( C \) — \( (0,0,1) \).

Вектор \( CM \): \( M - C = (1/2 - 0, 0 - 0, 0 - 1) = (1/2, 0, -1) \).

Длины векторов:

\( |\u0002BN| = \sqrt{0^2 + (-1/5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1/25 + 1} = \sqrt{26/25} = \frac{\sqrt{26}}{5} \).

\( |\u0002CM| = \sqrt{(1/2)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1/4 + 0 + 1} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2} \).

Скалярное произведение векторов \( BN \) и \( CM \):

\( BN \cdot \u0002CM = (0)(1/2) + (-1/5)(0) + (-1)(-1) = 0 + 0 + 1 = 1 \).

Косинус угла \( \alpha \) между векторами находится по формуле:

\[ \cos \alpha = \frac{\u0002BN \cdot \u0002CM}{|\u0002BN| \cdot |\u0002CM|} \]

\[ \cos \alpha = \frac{1}{\frac{\sqrt{26}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{130}}{10}} = \frac{10}{\sqrt{130}} \]

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

\[ \cos \alpha = \frac{10}{\sqrt{130}} \cdot \frac{\sqrt{130}}{\sqrt{130}} = \frac{10\sqrt{130}}{130} = \frac{\sqrt{130}}{13} \]

Ответ: \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{130}}{13} \).