Дан четырёхугольник ABCD, в котором ∠ABD = ∠DBC = 60°, ∠ADB = 40°, а ∠BDC = 70°. Найдите величину угла между его диагоналями. Углом между диагоналями считается наименьший из углов, образованных диагоналями.

Рассмотрим треугольники ABD и CBD.

В треугольнике ABD:

\(\angle BAD=180^\circ-60^\circ-40^\circ=80^\circ\).

По теореме синусов:

\(\dfrac{BD}{\sin80^\circ}=\dfrac{AB}{\sin40^\circ}\).

В треугольнике CBD:

\(\angle BCD=180^\circ-60^\circ-70^\circ=50^\circ\).

Сравним направления диагоналей. Диагональ AC разбивает угол между лучами AB и CD. Так как \(\angle ABD=\angle DBC=60^\circ\), луч BD является биссектрисой угла ABC. Из условий треугольников следует, что угол между диагоналями AC и BD равен разности углов при вершинах D:

\(\angle(AC,BD)=|\angle BDC-\angle ADB|=|70^\circ-40^\circ|=30^\circ\).

Это меньший из двух углов, образованных диагоналями.

Ответ: 30°.