Дачник собирал дождевую воду в бак. Первая часть бака заполнилась со скоростью, в 3 раза меньшей, чем средняя скорость заполнения всего бака. Но затем дождь усилился, и скорость заполнения оставшейся части бака выросла в 6 раз по сравнению со скоростью заполнения первой части бака. Скорость заполнения - это количество литров воды, попадающих в бак за один час. 1) Чему равно отношение времён, затраченных на заполнение первой и второй частей бака? 2) Найдите отношение объёмов второй и первой частей бака.

Решение:

Обозначим:

• \( V \) — общий объём бака.
• \( V_1 \) — объём первой части бака.
• \( V_2 \) — объём второй части бака.
• \( v \) — средняя скорость заполнения всего бака.
• \( v_1 \) — скорость заполнения первой части бака.
• \( v_2 \) — скорость заполнения второй части бака.
• \( t_1 \) — время заполнения первой части бака.
• \( t_2 \) — время заполнения второй части бака.

По условию:

• \( v_1 = \frac{v}{3} \)
• \( v_2 = 6 v_1 = 6 \cdot \frac{v}{3} = 2v \)

Общий объём бака \( V = V_1 + V_2 \).

Средняя скорость заполнения всего бака \( v = \frac{V}{t_{общее}} \).

Время заполнения первой части: \( t_1 = \frac{V_1}{v_1} \).

Время заполнения второй части: \( t_2 = \frac{V_2}{v_2} \).

1) Отношение времён, затраченных на заполнение первой и второй частей бака:

\( \frac{t_1}{t_2} = \frac{V_1/v_1}{V_2/v_2} = \frac{V_1 \cdot v_2}{V_2 \cdot v_1} \).

Мы не знаем отношение объёмов \( V_1 \) и \( V_2 \) заранее. Однако, нам сказано, что \( V_1 \) заполнилась со скоростью \( v_1 \), а \( V_2 \) — со скоростью \( v_2 \).

Так как \( V_1 \) составляет некоторую часть от \( V \), а \( V_2 \) — оставшуюся часть, то \( V_1 + V_2 = V \).

Из условия, \( V_1 \) заполнилась со скоростью \( v_1 \), а \( V_2 \) — со скоростью \( v_2 \).

Из условия, \( v_1 = v/3 \), то есть \( V_1 = v_1 t_1 = (v/3) t_1 \).

Из условия, \( v_2 = 6 v_1 = 2v \), то есть \( V_2 = v_2 t_2 = 2v t_2 \).

Общий объём \( V = V_1 + V_2 = \frac{v}{3} t_1 + 2v t_2 \).

Общее время \( t_{общее} = t_1 + t_2 \).

\( v = \frac{V}{t_{общее}} \) → \( V = v (t_1 + t_2) \).

\( v (t_1 + t_2) = \frac{v}{3} t_1 + 2v t_2 \).

Разделим на \( v \): \( t_1 + t_2 = \frac{t_1}{3} + 2t_2 \).

\( t_1 - \frac{t_1}{3} = 2t_2 - t_2 \).

\( \frac{2t_1}{3} = t_2 \).

Теперь найдём отношение времён \( t_1 \) и \( t_2 \):

\( \frac{t_1}{t_2} = \frac{t_1}{2t_1/3} = \frac{3}{2} \).

2) Отношение объёмов второй и первой частей бака:

\( V_1 = v_1 t_1 = \frac{v}{3} t_1 \).

\( V_2 = v_2 t_2 = 2v t_2 \).

\( \frac{V_2}{V_1} = \frac{2v t_2}{(v/3) t_1} = \frac{2v t_2 \cdot 3}{v t_1} = 6 \frac{t_2}{t_1} \).

Так как \( \frac{t_1}{t_2} = \frac{3}{2} \), то \( \frac{t_2}{t_1} = \frac{2}{3} \).

\( \frac{V_2}{V_1} = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4 \).

Ответ: 1) 3/2; 2) 4