Дачник собирал дождевую воду в бак. Первая часть бака заполнилась со скоростью, в 2 раза меньшей, чем средняя скорость заполнения всего бака. Но затем дождь усилился, и скорость заполнения оставшейся части бака выросла в 3 раза по сравнению со скоростью заполнения первой части бака. Скорость заполнения – это количество литров воды, попадающих в бак за один час. 1) Чему равно отношение времён, затраченных на заполнение первой и второй частей бака? 2) Найдите отношение объёмов второй и первой частей бака.

Решение:

Пусть \( V \) — общий объём бака, \( V_1 \) — объём первой части бака, \( V_2 \) — объём второй части бака. Пусть \( v_1 \) — скорость заполнения первой части, \( v_2 \) — скорость заполнения второй части. Пусть \( t_1 \) — время заполнения первой части, \( t_2 \) — время заполнения второй части.

Из условия задачи:

\( v_1 = \frac{1}{2} v_{ср} \) (где \( v_{ср} \) — средняя скорость заполнения всего бака)

\( v_2 = 3 v_1 = 3 \cdot \frac{1}{2} v_{ср} = \frac{3}{2} v_{ср} \)

Объём первой части бака: \( V_1 = v_1 t_1 \)

Объём второй части бака: \( V_2 = v_2 t_2 \)

Общий объём бака: \( V = V_1 + V_2 \)

Средняя скорость заполнения всего бака: \( v_{ср} = \frac{V}{T} \), где \( T = t_1 + t_2 \) — общее время заполнения.

Следовательно, \( v_1 = \frac{1}{2} \frac{V}{T} \) и \( v_2 = \frac{3}{2} \frac{V}{T} \).

1) Отношение времён:

\( t_1 = \frac{V_1}{v_1} \)

\( t_2 = \frac{V_2}{v_2} \)

Из условия, \( V_1 \) — это первая часть бака, а \( V_2 \) — оставшаяся часть. Если \( V_1 = \frac{1}{2} V \), то \( V_2 = V - V_1 = V - \frac{1}{2} V = \frac{1}{2} V \).

\( t_1 = \frac{\frac{1}{2} V}{\frac{1}{2} v_{ср}} = \frac{V}{v_{ср}} = T \)

\( t_2 = \frac{\frac{1}{2} V}{\frac{3}{2} v_{ср}} = \frac{1}{3} \frac{V}{v_{ср}} = \frac{1}{3} T \)

Отношение времён: \( \frac{t_1}{t_2} = \frac{T}{\frac{1}{3} T} = 3 \).

2) Отношение объёмов:

\( V_1 = \frac{1}{2} V \)

\( V_2 = \frac{1}{2} V \)

Отношение объёмов второй и первой частей бака: \( \frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{1}{2} V}{\frac{1}{2} V} = 1 \).

Ответ: 1) 3; 2) 1.