DABC — правильная треугольная пирамида, все рёбра которой равны 8. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки B, C и K, где K — середина стороны AD, и найдите квадрат его площади.

Поскольку точки B и C лежат на ребре BC, а K — на ребре AD, плоскость пересекает грани пирамиды по отрезкам BK, KC и BC. Следовательно, сечение — треугольник BCK.

В равносторонних треугольниках ABD и ACD медианы BK и CK одновременно являются высотами. Поэтому

\(BK=CK=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}\).

Высота треугольника BCK, опущенная на BC, равна

\(h=\sqrt{(4\sqrt{3})^2-4^2}=4\sqrt{2}\).

Тогда площадь сечения \(S=\frac12\cdot 8\cdot 4\sqrt{2}=16\sqrt{2}\), и

Ответ: \(S^2=512\).