D. Задача А4. Обменный пункт (6 баллов). Имеется по пять красных, жёлтых и зелёных шариков. В обменном пункте можно поменять: красный и жёлтый — на зелёный, красный и зелёный — на два жёлтых, жёлтый и зелёный — на 5 красных. Выберите, какие количества шариков можно получить, сделав несколько таких операций: 0 красных, 0 жёлтых, 10 зелёных; 10 красных, 10 жёлтых, 0 зелёных; 5 красных, 10 жёлтых, 2 зелёных; 10 красных, 5 жёлтых, 5 зелёных.

Проверим варианты, начиная с набора из 5 красных, 5 жёлтых и 5 зелёных шариков.

1. Пять раз меняем красный и жёлтый шарики на зелёный: получаем 0 красных, 0 жёлтых и 10 зелёных. Первый вариант достижим.
2. Последовательность обменов: красный и жёлтый на зелёный; дважды красный и зелёный на два жёлтых; жёлтый и зелёный на 5 красных; красный и зелёный на два жёлтых; жёлтый и зелёный на 5 красных; красный и зелёный на два жёлтых. После этих обменов получаем 10 красных, 10 жёлтых и 0 зелёных. Второй вариант достижим.

Проверим невозможность двух остальных вариантов. Пусть обмены трёх типов выполнены соответственно a, b и c раз. Тогда изменения количеств красных, жёлтых и зелёных шариков равны соответственно −a − b + 5c, −a + 2b − c и a − b − c.

Для набора 5 красных, 10 жёлтых и 2 зелёных общее количество шариков увеличивается на 2, поэтому −a + 3c = 2, то есть a = 3c − 2. Из изменения количества красных следует −a − b + 5c = 0, откуда b = 2c + 2. Тогда изменение количества жёлтых равно −a + 2b − c = 6, хотя для этого варианта оно должно быть равно 5. Противоречие.

Для набора 10 красных, 5 жёлтых и 5 зелёных общее количество увеличивается на 5, поэтому a = 3c − 5. Количество зелёных не меняется, следовательно, a − b − c = 0 и b = 2c − 5. Тогда изменение количества жёлтых равно −a + 2b − c = −5, хотя оно должно быть равно 0. Этот вариант также невозможен.

Ответ: можно получить 0 красных, 0 жёлтых и 10 зелёных; 10 красных, 10 жёлтых и 0 зелёных.