cos²3x+cos²4x+cos²5x = 3/2

Привет! Разбираемся с тригонометрическим уравнением.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Используем формулу понижения степени: \[\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\] Применим эту формулу к каждому члену уравнения: \[\cos^2 3x = \frac{1 + \cos 6x}{2}\] \[\cos^2 4x = \frac{1 + \cos 8x}{2}\] \[\cos^2 5x = \frac{1 + \cos 10x}{2}\]
2. Шаг 2: Подставим полученные выражения в исходное уравнение: \[\frac{1 + \cos 6x}{2} + \frac{1 + \cos 8x}{2} + \frac{1 + \cos 10x}{2} = \frac{3}{2}\]
3. Шаг 3: Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей: \[1 + \cos 6x + 1 + \cos 8x + 1 + \cos 10x = 3\]
4. Шаг 4: Упростим уравнение: \[3 + \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x = 3\] Вычтем 3 из обеих частей: \[\cos 6x + \cos 8x + \cos 10x = 0\]
5. Шаг 5: Сгруппируем первый и третий члены и используем формулу суммы косинусов: \[\cos a + \cos b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2}\] Применим эту формулу к \(\cos 6x + \cos 10x\): \[\cos 6x + \cos 10x = 2 \cos \frac{6x + 10x}{2} \cos \frac{6x - 10x}{2} = 2 \cos 8x \cos (-2x)\] Так как \(\cos(-2x) = \cos 2x\), получим: \[2 \cos 8x \cos 2x + \cos 8x = 0\]
6. Шаг 6: Вынесем \(\cos 8x\) за скобки: \[\cos 8x (2 \cos 2x + 1) = 0\]
7. Шаг 7: Теперь у нас есть два случая: \(\cos 8x = 0\) или \(2 \cos 2x + 1 = 0\)
8. Шаг 8: Решим первое уравнение \(\cos 8x = 0\): \[8x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z}\]
9. Шаг 9: Решим второе уравнение \(2 \cos 2x + 1 = 0\): \[\cos 2x = -\frac{1}{2}\] \[2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\] \[x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \[x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z}\] или \[x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\]