Что(бы) участвовать в олимпиаде, мы очень долго занимались.

Правильный ответ: Чтобы участвовать в олимпиаде, мы очень долго занимались.

В данном случае пишется слитно, так как это союз, обозначающий цель. Можно задать вопрос: "С какой целью мы долго занимались?" - Чтобы участвовать в олимпиаде.