Число \(A\) даёт остаток 3 от деления на 9. Какой остаток от деления на 9 даёт число \(B = A^2 + (2A)^2\)?

Пошаговое решение:

1. Если число \(A\) дает остаток 3 при делении на 9, то \(A = 9k + 3\), где \(k\) - целое число.
2. Выразим число \(B\) через \(A\): \(B = A^2 + (2A)^2 = A^2 + 4A^2 = 5A^2\).
3. Подставим \(A = 9k + 3\) в выражение для \(B\): \(B = 5(9k + 3)^2 = 5(81k^2 + 54k + 9) = 405k^2 + 270k + 45\).
4. Разделим \(B\) на 9: \(B = 405k^2 + 270k + 45 = 9(45k^2 + 30k + 5)\).
5. Так как \(B = 9(45k^2 + 30k + 5)\), остаток от деления \(B\) на 9 равен 0.

Ответ: 0