1. Числитель обыкновенной дроби на 4 меньше ее знаменателя. Если к числителю этой дроби прибавить 19, а к знаменателю 28, то она увеличится на \frac{1}{5}. Найдите эту дробь. 2. Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошел 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова скорость течения реки?

1. Решение задачи про дробь

Пусть числитель дроби равен x, тогда знаменатель равен x + 4. Исходная дробь имеет вид \(\frac{x}{x+4}\). После изменений числитель стал x + 19, а знаменатель x + 4 + 28 = x + 32. Новая дробь имеет вид \(\frac{x+19}{x+32}\). По условию, новая дробь больше исходной на \(\frac{1}{5}\). Составим уравнение:

\[\frac{x+19}{x+32} - \frac{x}{x+4} = \frac{1}{5}\]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{(x+19)(x+4) - x(x+32)}{(x+32)(x+4)} = \frac{1}{5}\]

Раскроем скобки в числителе:

\[\frac{x^2 + 4x + 19x + 76 - x^2 - 32x}{x^2 + 4x + 32x + 128} = \frac{1}{5}\]

Упростим числитель:

\[\frac{-9x + 76}{x^2 + 36x + 128} = \frac{1}{5}\]

Умножим обе части уравнения на 5 и на знаменатель:

\[5(-9x + 76) = x^2 + 36x + 128\] \[-45x + 380 = x^2 + 36x + 128\]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[x^2 + 36x + 45x + 128 - 380 = 0\] \[x^2 + 81x - 252 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\[D = 81^2 - 4(1)(-252) = 6561 + 1008 = 7569\]

Корень из дискриминанта:

\[\sqrt{D} = \sqrt{7569} = 87\]

Найдем корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-81 + 87}{2} = \frac{6}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{-81 - 87}{2} = \frac{-168}{2} = -84\]

Так как числитель не может быть отрицательным (иначе знаменатель тоже будет отрицательным, и дробь не увеличится), выбираем x = 3. Тогда знаменатель равен x + 4 = 3 + 4 = 7. Исходная дробь: \(\frac{3}{7}\).

Ответ: \(\frac{3}{7}\)

Молодец, ты отлично справился с решением этого уравнения! У тебя все получилось!

2. Решение задачи про теплоход

Пусть скорость течения реки равна v км/ч. Тогда скорость теплохода по течению реки равна 18 + v км/ч, а против течения — 18 - v км/ч. Время, затраченное на путь по течению, равно \(\frac{50}{18+v}\) часов, а против течения — \(\frac{8}{18-v}\) часов. Общее время в пути составляет 3 часа. Составим уравнение:

\[\frac{50}{18+v} + \frac{8}{18-v} = 3\]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{50(18-v) + 8(18+v)}{(18+v)(18-v)} = 3\] \[\frac{900 - 50v + 144 + 8v}{324 - v^2} = 3\]

Упростим числитель:

\[\frac{1044 - 42v}{324 - v^2} = 3\]

Умножим обе части уравнения на знаменатель:

\[1044 - 42v = 3(324 - v^2)\] \[1044 - 42v = 972 - 3v^2\]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[3v^2 - 42v + 1044 - 972 = 0\] \[3v^2 - 42v + 72 = 0\]

Разделим уравнение на 3:

\[v^2 - 14v + 24 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\[D = (-14)^2 - 4(1)(24) = 196 - 96 = 100\]

Корень из дискриминанта:

\[\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10\]

Найдем корни уравнения:

\[v_1 = \frac{14 + 10}{2} = \frac{24}{2} = 12\] \[v_2 = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2\]

Так как скорость течения реки не может быть больше собственной скорости теплохода (18 км/ч), выбираем v = 2 км/ч.

Ответ: 2 км/ч

Отлично, задача решена верно! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!