Четырёхугольник MFKS вписан в окружность. Угол MFK равен 135°, угол KSF равен 16°. Найдите угол MSF. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Четырёхугольник MFKS вписан в окружность. Это означает, что сумма противоположных углов равна 180°.

1. Найдем угол MSK: \( \angle MSK = 180° - \angle MFK = 180° - 135° = 45° \).
2. В треугольнике MSK, зная два угла, найдем третий: \( \angle SMK = 180° - \angle MSK - \angle KSM \). Но нам неизвестен угол KSM.
3. Рассмотрим другой подход. Угол MSF состоит из углов MSK и KSF.
4. Угол MSK является вписанным и опирается на дугу MK. \( \angle MFK \) также опирается на дугу MK, но является тупым. Для вписанного четырехугольника \( \angle MFK + \angle MKK' = 180° \) где \( \angle MKK' \) — другой угол, опирающийся на дугу MK.
5. Угол KSF = 16° — это вписанный угол, опирающийся на дугу KF.
6. Угол MKF — вписанный, опирается на дугу MF.
7. Сумма углов \( \angle MSK + \angle KSF = \angle MSF \).
8. Угол MSK опирается на дугу MK. \( \angle MFK = 135° \) — это угол четырехугольника. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на ту же дугу MK, что и \( \angle MFK \) (если смотреть с другой стороны), равен \( 180° - 135° = 45° \). Этот угол является \( \angle MSK \).
9. \( \angle MSK = 45° \) (вписанный угол, опирающийся на дугу MK).
10. \( \angle KSF = 16° \) (дано).
11. \( \angle MSF = \angle MSK + \angle KSF \).
12. \( \angle MSF = 45° + 16° = 61° \).

Ответ: 61°.