16 Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, BK=6, DK=10, BC=12. Найдите AD.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK = 6, DK = 10, BC = 12. Найти AD.

Если четырехугольник вписан в окружность, произведение отрезков секущих, проведенных из одной точки вне окружности, равны.

В данном случае, точка K находится вне окружности, следовательно, выполняются равенства:

$$KB \cdot KA = KC \cdot KD$$

При этом KA = KB + BA, KD = KC + CD.

Также известно, что $$KB \cdot KA = KC \cdot KD$$.

Известно: BK = 6, DK = 10, BC = 12. Нужно найти AD.

Пусть AD = x, KC = y.

Треугольники BCK и ADK подобны по двум углам (угол K - общий, угол CBK = углу ADK как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу AC). Тогда можно составить пропорцию:

$$\frac{BK}{DK} = \frac{BC}{AD}$$ $$\frac{6}{10} = \frac{12}{AD}$$ $$AD = \frac{12 \cdot 10}{6} = 20$$

Ответ: 20