Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K. Известно, что BK=6, DK=18, BC=12. Найдите AD. Варианты: 24, 30, 36, 48.

Так как точки A и B лежат на одной секущей из K, а C и D — на другой, по теореме о произведении отрезков секущих:

\(KA\cdot KB=KC\cdot KD\).

По неравенству треугольника в треугольнике KBC: \(KC<KB+BC=6+12=18\). Следовательно, \(KA\cdot6=KC\cdot18\), откуда \(KA=3KC<54\). Но так как K лежит на продолжениях прямых AB и CD за пределами окружности, порядок точек должен быть K–B–A и K–C–D. Поэтому \(AB=KA-KB\), \(CD=KD-KC\); из теоремы получаем \(KA=3KC\).

Рассмотрим треугольники KBC и KDA: они подобны, поскольку углы при K равны, а вписанные углы, опирающиеся на соответствующие дуги, равны. Отсюда \(AD/BC=KD/KB=18/6=3\).

Значит, \(AD=3\cdot12=36\).

Ответ: 36 (третий вариант).