Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, K – точка пересечения его диагоналей. Найти угол AKD, если ∠ACD = 50° и ∠CAB = 35°. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность. K - точка пересечения его диагоналей AC и BD. Необходимо найти угол AKD, если ∠ACD = 50° и ∠CAB = 35°. Угол AKD является внешним углом для треугольника AKB. Следовательно, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $$\angle AKD = \angle KAB + \angle KBA$$ $$\angle KAB = \angle CAB = 35^{\circ}$$ (по условию) Угол KBA равен углу DBA. Так как углы DBA и DCA опираются на одну и ту же дугу окружности (дугу DA), то они равны: $$\angle DBA = \angle DCA = 50^{\circ}$$ Значит, $$\angle KBA = 50^{\circ}$$. Теперь мы можем найти угол AKD: $$\angle AKD = 35^{\circ} + 50^{\circ} = 85^{\circ}$$ Ответ: 85