Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин А (6; -2), B (-2; -2), C (8; 4), D (6; 2). Найдите градусную меру угла между его диагоналями АС и BD.

Решим задачу по геометрии, используя знания из аналитической геометрии.

Даны вершины четырехугольника $$ABCD$$: $$A(6; -2)$$, $$B(-2; -2)$$, $$C(8; 4)$$, $$D(6; 2)$$. Нужно найти угол между диагоналями $$AC$$ и $$BD$$.

1. Найдем координаты векторов $$ \vec{AC} $$ и $$ \vec{BD} $$.

• $$ \vec{AC} = (8 - 6; 4 - (-2)) = (2; 6) $$
• $$ \vec{BD} = (6 - (-2); 2 - (-2)) = (8; 4) $$

2. Найдем косинус угла между векторами $$ \vec{AC} $$ и $$ \vec{BD} $$, используя формулу:

$$ cos \varphi = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{BD}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}|} $$, где $$ \varphi $$ - угол между векторами.

3. Вычислим скалярное произведение $$ \vec{AC} \cdot \vec{BD} $$:

$$ \vec{AC} \cdot \vec{BD} = (2 \cdot 8) + (6 \cdot 4) = 16 + 24 = 40 $$.

4. Вычислим длины векторов $$ |\vec{AC}| $$ и $$ |\vec{BD}| $$:

• $$ |\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} $$
• $$ |\vec{BD}| = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} $$

5. Найдем косинус угла $$ \varphi $$:

$$ cos \varphi = \frac{40}{2\sqrt{10} \cdot 4\sqrt{5}} = \frac{40}{8\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{25 \cdot 2}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$.

6. Угол, косинус которого равен $$ \frac{\sqrt{2}}{2} $$, равен 45 градусам.

$$ \varphi = arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^{\circ} $$.

Ответ: 45°