Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол А на 58° больше угла В и в 4 раза больше угла С. Найдите углы четырехугольника.

Решение:

Для четырехугольника, вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна 180°.

То есть:

• \[ A + C = 180^{\circ} \]
• \[ B + D = 180^{\circ} \]

По условию задачи:

• \[ A = B + 58^{\circ} \]
• \[ A = 4 C \]

Из последнего условия выразим C:

\[ C = \frac{ A}{4} \]

Подставим C в первое уравнение:

\[ A + \frac{ A}{4} = 180^{\circ} \]

\[ \frac{4 A + A}{4} = 180^{\circ} \]

\[ \frac{5 A}{4} = 180^{\circ} \]

\[ 5 A = 180^{\circ} 4 \]

\[ 5 A = 720^{\circ} \]

\[ A = \frac{720^{\circ}}{5} = 144^{\circ} \]

Теперь найдем C:

\[ C = \frac{144^{\circ}}{4} = 36^{\circ} \]

Найдем B:

\[ B = A - 58^{\circ} = 144^{\circ} - 58^{\circ} = 86^{\circ} \]

Найдем D:

\[ D = 180^{\circ} - B = 180^{\circ} - 86^{\circ} = 94^{\circ} \]

Проверим, что B + D = 180^{\circ}:

\[ 86^{\circ} + 94^{\circ} = 180^{\circ} \]

Ответ: A = 144^{\circ}, B = 86^{\circ}, C = 36^{\circ}, D = 94^{\circ}.