Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, BK = 8, DK = 12, ВС = 6. Найдите AD.

Пошаговое решение:

1. Рассмотрим секущиеся прямые AB и CD. По свойству секущихся хорд, произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой секущей:
   \[ BK \cdot KA = DK \cdot KC \]
2. Выразим KA через AB и BK:
   \[ KA = AB + BK \]
3. Подставим известные значения: BK = 8, DK = 12, BC = 6.
   Тогда \( KC = DK - DC = 12 - DC \).
   Используем теорему о секущихся хордах:
   \[ BK \cdot (AB + BK) = DK \cdot KC \]
   \[ 8 \cdot (AB + 8) = 12 \cdot KC \]
4. Рассмотрим треугольники BCK и ADK. Углы \( \angle CBK = \angle ADK \) как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы \( \angle BCK = \angle BAK \) как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники BCK и ADK подобны по двум углам.
5. Из подобия треугольников BCK и ADK следует пропорция сторон:
   \[ \frac{BC}{AD} = \frac{BK}{DK} \]
   \[ \frac{6}{AD} = \frac{8}{12} \]
   \[ AD = \frac{6 \cdot 12}{8} = \frac{72}{8} = 9 \]

Ответ: AD = 9