209*Через точку Н₁ высоты РН пирамиды РА₁А₂... А проведена секущая плоскость В, параллельная плоскости а её основания. Докажите, что площадь полученного сечения равна где S — площадь основания пирамиды. Решение Докажем это утверждение сначала для треугольной пирами- ды, а затем — для произвольной пирамиды

Для доказательства этого утверждения необходимо воспользоваться теоремой об отношении площадей подобных фигур. Так как секущая плоскость β параллельна плоскости основания α, то полученное сечение является многоугольником, подобным основанию пирамиды. Пусть PH = h - высота пирамиды, PH₁ = h₁ - расстояние от вершины пирамиды до секущей плоскости. Тогда коэффициент подобия k равен отношению соответствующих линейных размеров, то есть \(k = \frac{PH_1}{PH} = \frac{h_1}{h}\). Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно, площадь сечения S₁ относится к площади основания S как квадрат коэффициента подобия: \(\frac{S_1}{S} = k^2 = (\frac{PH_1}{PH})^2\) Отсюда выражаем площадь сечения S₁: \(S_1 = (\frac{PH_1}{PH})^2 \cdot S\) Таким образом, площадь сечения равна \((\frac{PH_1}{PH})^2 \cdot S\), что и требовалось доказать. Ответ: смотри решение