Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причем AB = 2, AC = 8. Найдите AK.

Решение:

Воспользуемся теоремой о касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности. Согласно этой теореме, квадрат длины отрезка касательной равен произведению отрезков секущей от внешней точки до точек пересечения с окружностью.

Обозначим длину касательного отрезка от точки А до точки касания К как AK. Длину секущей, проходящей через точки А, В и С, можно представить как произведение отрезков AB и AC.

По теореме имеем:

\[ AK^2 = AB \cdot AC \]\[ AK^2 = 2 \cdot 8 \]\[ AK^2 = 16 \]\[ AK = \sqrt{16} \]\[ AK = 4 \]

Ответ: AK = 4.